计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1001 0111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1001 01118 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1101 0111 OR 1010 1100 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 0111OR1010 1100

R =

3.命题逻辑与证明中等

你想用逆否证明来证明 p → (q ∧ r)。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

p → (q ∧ r)

1(q ∧ r) → p
2p ∧ ¬(q ∧ r)
3¬(q ∧ r) → ¬p
4¬p → ¬(q ∧ r)

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 b → c; b。由它们可以推出哪个结论？点选它。

b → cb

1¬c
2c
3b ∧ ¬c
4¬b

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 8, 11) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 8, 11)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位移位寄存器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 中存有 1010。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀，Q₀ 丢失），串行输入进入 Q₃。串行输入在 5 个边沿处为 0, 1, 0, 0, 1。给出最终状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 10100, 1, 0, 0, 1

Q =

7.数论与模运算中等

求 12 模 65 的逆元：满足 0 < x < 65 且 12·x ≡ 1 (mod 65) 的数 x。

a = 12n = 65

12⁻¹ mod 65 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 31 和 q = 37，公钥指数 e = 23。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 31q = 37e = 23

d =

9.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

A只有一个循环
B重叠子问题和最优子结构
C完全没有子问题，因此一步就能解决
D只有随机输入

10.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

AΘ(n)
BΘ(n log n)
CΘ(log n)
DΘ(n²)

11.数据结构中等

在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？

AO(n log n)
BO(log n)
CO(1)
DO(n)

12.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

A使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
B使哈希表有序
C保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
D免去对表进行扩容的需要

13.图论中等

完全图 K₅ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₅

H =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3

15.数据库与 SQL中等

哪个查询返回每个客户的订单数量？

ASELECT customer_id FROM orders WHERE COUNT(*) > 0
BSELECT DISTINCT COUNT(*) FROM orders
CSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders ORDER BY customer_id
DSELECT customer_id, COUNT(*) FROM orders GROUP BY customer_id

16.数据库与 SQL困难

为什么在生产查询中使用 NATURAL JOIN 被认为有风险？

A它在所有同名列上连接，因此新增一列可能悄无声息地改变结果
B它忽略主键和外键，只保留 NULL 行
C它总是返回笛卡尔积
D没有任何数据库支持它

17.计算机网络中等

哪个范围的 TCP/UDP 端口号被保留为"知名"端口？

A49152–65535
B1024–49151
C0–65535
D0–1023

18.计算机网络困难

哪种路由协议属于链路状态协议？

AOSPF
BRIP
CARP
DBGP

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 452 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

452 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.200.156/30。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.200.156/30

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −105

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 16 + 4 + 2 + 1 = −105

答案

N = −105

2.数制

答案: R = 255

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

OR 在至少有一位为 1 时得 1。

1101 0111

OR 1010 1100

= 1111 1111

结果的值

1111 1111₂ = 255

答案

R = 255

3.命题逻辑与证明

答案: ¬(q ∧ r) → ¬p

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = p, b = q ∧ r

逆否命题

¬b → ¬a = ¬(q ∧ r) → ¬p

答案

¬(q ∧ r) → ¬p

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

4.命题逻辑与证明

答案: c

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

b = 1, c = 1: ¬c = 0, c = 1, b ∧ ¬c = 0, ¬b = 0

结论

c (肯定前件式)

答案

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′CD

AB′C′D′

最简 SOP 形式

F = B′CD + AB′C′D′

N = 2

答案

N = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 9

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

1010 → 0101 → 1010 → 0101 → 0010 → 1001

十进制值

1001₂ = 9

答案

Q = 9

7.数论与模运算

答案: 12⁻¹ mod 65 = 38

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·12 (mod 65)。

r = 65, t = 0

r = 12, q = 5, t = 1

r = 5, q = 2, t = −5

r = 2, q = 2, t = 11

r = 1, q = 2, t = −27

逆矩阵

1 ≡ −27·12 (mod 65)

x = 38

校核: 12·38 = 456 = 7·65 + 1

答案

12⁻¹ mod 65 = 38

8.数论与模运算

答案: d = 47

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 31·37 = 1147

φ(n) = 30·36 = 1080

扩展欧几里得算法

r = 1080, t = 0

r = 23, q = 46, t = 1

r = 22, q = 1, t = −46

r = 1, q = 22, t = 47

私钥指数

d = 47

计数

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

答案

H = 12

14.图论

答案: B

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): C: 10

2. C (10): B: 13, E: 16, G: 21

3. B (13): D: 20

4. E (16): F: 23

5. D (20)

6. G (21)

OSPF 路由器构建区域的完整拓扑图，并用 Dijkstra 算法计算最短路径。RIP 是距离矢量协议；BGP 是路径矢量协议。

答案

A · OSPF

19.IPv4 子网划分

答案: p = 23

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2⁸ − 2 = 254 < 452

2⁹ − 2 = 510 ≥ 452 → h = 9

前缀长度

p = 32 − 9 = 23

答案

p = /23

20.IPv4 子网划分

答案: x = 156

块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: ⌊156/4⌋·4 = 156

广播: 156 + 4 − 1 = 159

可用主机: 157 … 158

答案

x = 156

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