计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −80 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −808 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1111 0100 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1111 0100<< 2

R =

3.命题逻辑与证明中等

你想用逆否证明来证明 (a ∨ b) → c。你要改为证明哪个蕴涵？点选它。

(a ∨ b) → c

1¬c → ¬(a ∨ b)
2(a ∨ b) ∧ ¬c
3c → (a ∨ b)
4¬(a ∨ b) → ¬c

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) ∨ G(x))

1∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
2∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
3∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
4∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 6, 12) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 6, 12)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个约翰逊（扭环）计数器由 3 个 D 触发器构成，最后一个输出取反后反馈到第一个输入，并从全 0 开始。它经历多少种不同的状态 N？

n = 3

N =

7.数论与模运算中等

求 40 模 97 的逆元：满足 0 < x < 97 且 40·x ≡ 1 (mod 97) 的数 x。

a = 40n = 97

40⁻¹ mod 97 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 19 和 q = 37，公钥指数 e = 11。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 19q = 37e = 11

d =

9.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

A所有元素都不相同的数组
B已经有序的数组
C随机顺序的数组
D长度为 2 的数组

10.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

A它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
B检查是否有边的权重为负
C用深度优先搜索统计环的数量
D在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛

11.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？

A1 2 4 5 3
B4 5 2 3 1
C5 4 3 2 1
D4 2 5 1 3

12.数据结构困难

向 AVL 树插入一个键后，某节点的左子树过高，而新键插入到了其左子节点的左子树中（左左情况）。应采用哪种修正？

A在失衡节点处进行一次左旋
B在失衡节点处进行一次右旋
C对该节点及其子节点重新着色
D先在子节点处左旋，再在该节点处右旋

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4

15.数据库与 SQL中等

哪个 ACID 特性意味着并发事务看不到彼此尚未完成的更改？

A持久性
B原子性
C隔离性
D可用性

16.数据库与 SQL困难

为什么带有 WHERE YEAR(order_date) = 2025 的查询可能不会使用 order_date 上的索引？

Aorder_date 上的索引只用于 ORDER BY 子句，绝不用于 WHERE
B对列应用函数会妨碍简单的索引范围查找
C索引永远不能用于日期
DYEAR 不是合法的 SQL

17.计算机网络中等

HTTP 是无状态的。网站通常如何在多个请求之间保持用户的登录状态？

A让 TCP 连接保持打开好几天
B使用保存会话标识符或令牌的 cookie
C把密码存储在 URL 中
D给每个用户分配一个固定 IP 地址

18.计算机网络困难

一台防火墙阻止了所有 ICMP。小的 Web 请求正常，但经过某些路径的大文件下载会卡住。可能的原因是什么？

A没有 ICMP，TCP 无法建立连接
BDNS 需要 ICMP 才能解析名称
CTLS 证书通过 ICMP 发送
D由于"需要分片"消息被阻止，路径 MTU 发现失败

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 30 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？

192.168.10.0/2430 subnets

H =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.93.168/21。其网络地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.93.168/21

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 176

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

80 = 0101 0000

取反后: 1010 1111

+1 → 1011 0000

按无符号数读取

1011 0000₂ = 256 − 80 = 176

答案

U = 176

2.数制

答案: R = 208

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1111 0100 << 2

= 1101 0000

结果的值

1101 0000₂ = 208

答案

R = 208

3.命题逻辑与证明

答案: ¬c → ¬(a ∨ b)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = a ∨ b, b = c

逆否命题

¬b → ¬a = ¬c → ¬(a ∨ b)

答案

¬c → ¬(a ∨ b)

逆否命题与原命题等价，所以证明了它就证明了原命题。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

答案

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

D′

(A′ + C′)

(A′ + B)

(A + B′ + C)

最简 POS 形式

F = D′(A′ + C′)(A′ + B)(A + B′ + C)

N = 4

答案

N = 4

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

3 个触发器的序列

000 → 100 → 110 → 111 → 011 → 001

状态数

N = 6

答案

N = 6

7.数论与模运算

答案: 40⁻¹ mod 97 = 17

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·40 (mod 97)。

r = 97, t = 0

r = 40, q = 2, t = 1

r = 17, q = 2, t = −2

r = 6, q = 2, t = 5

r = 5, q = 1, t = −12

r = 1, q = 5, t = 17

逆矩阵

1 ≡ 17·40 (mod 97)

x = 17

校核: 40·17 = 680 = 7·97 + 1

答案

40⁻¹ mod 97 = 17

8.数论与模运算

答案: d = 59

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 19·37 = 703

φ(n) = 18·36 = 648

扩展欧几里得算法

r = 648, t = 0

r = 11, q = 58, t = 1

r = 10, q = 1, t = −58

r = 1, q = 10, t = 59

私钥指数

d = 59

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 3

奇度顶点

A, B, C, E → 4

都不是

答案

都不是

14.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 11, C: 9

2. C (9): E: 20

3. B (11): D: 24

4. E (20): F: 35

5. D (24): F: 33

PMTUD 依靠 ICMP 消息来得知较小的 MTU。如果这些消息被丢弃，大数据包就会悄无声息地消失，形成"黑洞"连接。

答案

D · 由于"需要分片"消息被阻止，路径 MTU 发现失败

19.IPv4 子网划分

答案: H = 6

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

借用的位数

2⁵ = 32 ≥ 30 → b = 5, /29

每个子网的主机数

2³ − 2 = 6

答案

H = 6

20.IPv4 子网划分

答案: x = 88

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: 172.20.88.0

广播: 172.20.95.255

答案

x = 88

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