计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 0000 0100 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

0000 01008 bit

N =

2.数制困难

某系统要为 1406 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

1406

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) 在多少行为真？把这个数记作 N。

¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r))

N =

4.命题逻辑与证明困难

前提为 q → r; r、结论为 q 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。

q → rr∴ q

1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C′，I₁ = C′，I₂ = C，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = C′I₁ = C′I₂ = CI₃ = C

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

模 12 计数器必须依次经过 12 个不同的状态。它至少需要多少个触发器 n？

N = 12

n =

7.数论与模运算中等

解 17x ≡ 2 (mod 30)。给出满足 0 < x < 30 的解 x。

17x ≡ 2 (mod 30)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 23，q = 29，e = 5。解密密文 c = 37：求消息 m。

p = 23q = 29e = 5c = 37

m =

9.算法与复杂度中等

用自底向上的表格计算第 n 个斐波那契数，时间复杂度是多少？

AO(n²)
BO(log n)
CO(n)
DO(2ⁿ)

10.算法与复杂度困难

Bellman–Ford 算法如何检测从源点可达的负权环？

A在 V − 1 轮之后，检查是否还有边可以被松弛
B它运行两次 Dijkstra 算法，并比较两次的距离结果
C检查是否有边的权重为负
D用深度优先搜索统计环的数量

11.数据结构中等

深度优先搜索（迭代版本）使用哪种数据结构？

A队列
B堆
C栈
D仅哈希表

12.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

A它们以无序方式存储数据
B其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
C它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
D它们不需要再平衡

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8

W =

15.数据库与 SQL中等

SQL 中的视图（view）是：

A表在磁盘上的副本
B一种索引类型
C一个行为类似虚拟表的已存储查询
D数据库客户端中用于浏览各个表的界面

16.数据库与 SQL困难

事务 T1 锁定了行 A 并等待行 B，而 T2 锁定了行 B 并等待行 A。典型的 DBMS 会怎么做？

A同时提交两个事务
B让两个事务都等待，直到其中一个正常提交
C检测到死锁，并中止其中一个事务作为牺牲者
D把两个事务合并为一个

17.计算机网络中等

ARP 的作用是什么？

A在互联网上路由数据包
B当主机加入本地网络时自动为其分配 IP 地址
C在本地网络中查找某个 IP 地址对应的 MAC 地址
D解析域名

18.计算机网络困难

TCP 快速重传做什么？

A在重新连接已知主机时跳过三次握手，使数据更快重发
B在收到三个重复 ACK 后重发一个段，而不等待超时
C每次丢包后把窗口加倍
D为保险起见把每个段都发送两次

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 568 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

568 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.175.88/30。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.175.88/30

x =

3溶液

1.数制

答案: N = 4

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

4 = 4

答案

N = 4

2.数制

答案: b = 11 bit

2 的幂

2¹⁰ = 1024 < 1406

2¹¹ = 2048 ≥ 1406

答案

b = 11

3.命题逻辑与证明

答案: N = 1

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: q → p = 1, (q → p) ↔ p = 1, ¬q = 0, ¬r = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: q → p = 1, (q → p) ↔ p = 1, ¬q = 0, ¬r = 1, ¬q ∧ ¬r = 0, ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: q → p = 1, (q → p) ↔ p = 1, ¬q = 1, ¬r = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: q → p = 1, (q → p) ↔ p = 1, ¬q = 1, ¬r = 1, ¬q ∧ ¬r = 1, ¬(¬q ∧ ¬r) = 0, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 0, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: q → p = 0, (q → p) ↔ p = 1, ¬q = 0, ¬r = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: q → p = 0, (q → p) ↔ p = 1, ¬q = 0, ¬r = 1, ¬q ∧ ¬r = 0, ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: q → p = 1, (q → p) ↔ p = 0, ¬q = 1, ¬r = 0, ¬q ∧ ¬r = 0, ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: q → p = 1, (q → p) ↔ p = 0, ¬q = 1, ¬r = 1, ¬q ∧ ¬r = 1, ¬(¬q ∧ ¬r) = 0, ((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r) = 1, ¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)) = 0

数出值为 1 的行数

¬(((q → p) ↔ p) → ¬(¬q ∧ ¬r)): 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 0

N = 1

答案

N = 1

4.命题逻辑与证明

答案: q = 0, r = 1

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

逐行列出前提与结论

q = 1, r = 1: 1 1 | 1

q = 1, r = 0: 0 0 | 1

q = 0, r = 1: 1 1 | 0

q = 0, r = 0: 1 0 | 0

反例

q = 0, r = 1

答案

q = 0, r = 1

这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C′ + A′BC′ + AB′C + ABC

F = 1 的行

ABC = 000, 010, 101, 111

N = 4

答案

N = 4

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: n = 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

触发器的个数

2ⁿ ≥ 12 → n = 4 (2⁴ = 16)

答案

n = 4

7.数论与模运算

答案: x = 16

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

17 的逆元

r = 30, t = 0

r = 17, q = 1, t = 1

r = 13, q = 1, t = −1

r = 4, q = 3, t = 2

r = 1, q = 4, t = −7

17⁻¹ ≡ 23 (mod 30)

求解

x ≡ 23·2 = 46 ≡ 16 (mod 30)

校核: 17·16 = 272 ≡ 2 (mod 30)

答案

x = 16

8.数论与模运算

答案: m = 619

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 667, φ(n) = 616

d = 5⁻¹ mod 616 = 493

用反复平方法解密

493 = 256 + 128 + 64 + 32 + 8 + 4 + 1

37¹ ≡ 37 (mod 667)

37² ≡ 35 (mod 667)

37⁴ ≡ 558 (mod 667)

37⁸ ≡ 542 (mod 667)

37¹⁶ ≡ 284 (mod 667)

37³² ≡ 616 (mod 667)

37⁶⁴ ≡ 600 (mod 667)

37¹²⁸ ≡ 487 (mod 667)

37²⁵⁶ ≡ 384 (mod 667)

37⁴⁹³ ≡ 37·558·542·616·600·487·384 ≡ 619 (mod 667)

消息

m = 619

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 4, deg(E) = 2, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

14.图论

答案: W = 35

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DE (1): 取

DF (3): 取

EF (6): 跳过，会形成圈

B · 在收到三个重复 ACK 后重发一个段，而不等待超时

19.IPv4 子网划分

答案: p = 22

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2⁹ − 2 = 510 < 568

2¹⁰ − 2 = 1022 ≥ 568 → h = 10

前缀长度

p = 32 − 10 = 22

答案

p = /22

20.IPv4 子网划分

答案: x = 88

块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: ⌊88/4⌋·4 = 88

广播: 88 + 4 − 1 = 91

可用主机: 89 … 90

答案

x = 88

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