计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −35 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −358 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1010 0110 AND 1010 1110 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1010 0110AND1010 1110

R =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) 在多少行为真？把这个数记作 N。

¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r)

N =

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 (b ∧ (¬c ↔ ¬a)) ∨ (¬d ∧ a) 为真？把这个数记作 N。

(b ∧ (¬c ↔ ¬a)) ∨ (¬d ∧ a)

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C′，I₂ = 0，I₃ = 1。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = C′I₂ = 0I₃ = 1

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 4 位环形计数器 Q₃Q₂Q₁Q₀ 从 1100 开始。每个时钟边沿，各位向右移动一位（Q₃ → Q₂ → Q₁ → Q₀），Q₃ 接收 Q₀。给出 10 个时钟边沿之后的状态 Q = Q₃Q₂Q₁Q₀，用十进制数表示。

Q₃Q₂Q₁Q₀ = 110010

Q =

7.数论与模运算中等

求 36 模 47 的逆元：满足 0 < x < 47 且 36·x ≡ 1 (mod 47) 的数 x。

a = 36n = 47

36⁻¹ mod 47 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 19，q = 29，e = 19。解密密文 c = 392：求消息 m。

p = 19q = 29e = 19c = 392

m =

9.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

A完全没有子问题，因此一步就能解决
B重叠子问题和最优子结构
C只有一个循环
D只有随机输入

10.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

AX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
BX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
CX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
DX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的

11.数据结构中等

在一个有 n 个元素的数组中间插入一个元素，代价是多少？

AO(1)，因为下标已知
BO(n²)，因为每个元素要移动 n 次
CO(n)，因为后面的元素必须移动
DO(log n)，因为使用二分查找

12.数据结构困难

一个对象作为键存储在哈希映射中，之后其哈希函数所用的一个字段被修改了。可能的结果是什么？

A查找该对象可能失败，因为它位于按旧哈希值确定的桶中
B映射会自动把该键移到新的桶中
C什么都不会改变，因为键的哈希只在程序启动时计算一次
D字段改变的那一刻映射就会抛出错误

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

15.数据库与 SQL中等

SELECT name, CASE WHEN grade >= 5.5 THEN 'pass' ELSE 'fail' END FROM results 返回什么？

A只返回及格的学生
B每个姓名以及根据成绩得到的标签 'pass' 或 'fail'
C及格和不及格的学生人数
D报错，因为 SELECT 中不允许使用 CASE

16.数据库与 SQL困难

一个应用执行 UPDATE item SET qty = 4, version = 8 WHERE id = 1 AND version = 7，如果没有行被更新就报告冲突。这是哪种技术？

A乐观并发控制
B数据库分片
C带行锁的严格两阶段锁
D预写日志

17.计算机网络中等

TLS 通常如何使用非对称加密和对称加密？

A全程只使用非对称加密
B对称方法用于协商密钥和认证；非对称密码用于加密全部数据
C只使用对称加密，配合一个固定的共享密码
D非对称方法用于协商密钥和认证；对称密码用于加密数据

18.计算机网络困难

与 IPv4 相比，IPv6 的分片有何不同？

AIPv6 不允许大于 576 字节的数据包
B路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现
CIPv6 在传输层的 TCP 内部分片
DIPv6 路由器在转发之前对路径上每个大于 64 字节的数据包进行分片

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.175.98.0/24 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.175.98.0/24/27

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.163.46/29。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.163.46/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 221

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

35 = 0010 0011

取反后: 1101 1100

+1 → 1101 1101

按无符号数读取

1101 1101₂ = 256 − 35 = 221

答案

U = 221

2.数制

答案: R = 166

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

AND 只有在两位都为 1 时才得 1。

1010 0110

AND 1010 1110

= 1010 0110

结果的值

1010 0110₂ = 166

答案

R = 166

3.命题逻辑与证明

答案: N = 5

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, q ↔ r = 1, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, q ↔ r = 0, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 0

p = 1, q = 0, r = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, q ↔ r = 0, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, q ↔ r = 1, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, q ↔ r = 1, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: p ∨ q = 1, ¬(p ∨ q) = 0, q ↔ r = 0, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, q ↔ r = 0, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: p ∨ q = 0, ¬(p ∨ q) = 1, q ↔ r = 1, ¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r) = 1

数出值为 1 的行数

¬(p ∨ q) ∨ (q ↔ r): 1, 0, 0, 1, 1, 0, 1, 1

N = 5

答案

N = 5

4.命题逻辑与证明

答案: N = 7

各列

¬c; ¬a; ¬c ↔ ¬a; b ∧ (¬c ↔ ¬a); ¬d; ¬d ∧ a; (b ∧ (¬c ↔ ¬a)) ∨ (¬d ∧ a)

按 a 拆分

a = 1: 5

a = 0: 2

N = 5 + 2 = 7

答案

N = 7

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC′ + AB

F = 1 的行

ABC = 010, 110, 111

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的状态

1100 → 0110 → 0011 → 1001 → 1100 → 0110 → 0011 → 1001 → 1100 → 0110 → 0011

十进制值

0011₂ = 3

答案

Q = 3

7.数论与模运算

答案: 36⁻¹ mod 47 = 17

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·36 (mod 47)。

r = 47, t = 0

r = 36, q = 1, t = 1

r = 11, q = 3, t = −1

r = 3, q = 3, t = 4

r = 2, q = 1, t = −13

r = 1, q = 2, t = 17

逆矩阵

1 ≡ 17·36 (mod 47)

x = 17

校核: 36·17 = 612 = 13·47 + 1

答案

36⁻¹ mod 47 = 17

8.数论与模运算

答案: m = 69

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 551, φ(n) = 504

d = 19⁻¹ mod 504 = 451

用反复平方法解密

451 = 256 + 128 + 64 + 2 + 1

392¹ ≡ 392 (mod 551)

392² ≡ 486 (mod 551)

392⁴ ≡ 368 (mod 551)

392⁸ ≡ 429 (mod 551)

392¹⁶ ≡ 7 (mod 551)

392³² ≡ 49 (mod 551)

392⁶⁴ ≡ 197 (mod 551)

392¹²⁸ ≡ 239 (mod 551)

392²⁵⁶ ≡ 368 (mod 551)

392⁴⁵¹ ≡ 392·486·197·239·368 ≡ 69 (mod 551)

消息

m = 69

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

D, E → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: F

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 10, C: 15

2. B (10): C: 14, D: 13

3. D (13): E: 22, F: 15

4. C (14)

5. F (15): E: 21

IPv6 路由器会丢弃过大的数据包并返回 ICMPv6 Packet Too Big 消息。源端随后发送更小的数据包，或使用分片扩展首部。

答案

B · 路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现

19.IPv4 子网划分

答案: N = 8

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

27 − 24 = 3

子网数

N = 2³ = 8

答案

N = 8

每个 /27 子网有 2⁵ − 2 = 30 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 46

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊46/8⌋·8 = 40

广播: 40 + 8 − 1 = 47

可用主机: 41 … 46

答案

x = 46

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