计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −55。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −558 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1000 0011 << 3 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1000 0011<< 3

R =

3.命题逻辑与证明中等

(a ∧ b) → a 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(a ∧ b) → a

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x F(x) 等价？点选它。

¬∀x F(x)

1∀x ¬F(x)
2∃x F(x)
3∀x F(x)
4∃x ¬F(x)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 3, 4, 5, 7, 10)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

模 13 计数器由最少个数的触发器构成。可能的状态中有多少个 U 从未被用到？

N = 13

U =

7.数论与模运算中等

求 32 模 37 的逆元：满足 0 < x < 37 且 32·x ≡ 1 (mod 37) 的数 x。

a = 32n = 37

32⁻¹ mod 37 =

8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 83} 中，81x ≡ 27 (mod 84) 有多少个解 N？

81x ≡ 27 (mod 84)

N =

9.算法与复杂度中等

关于一个没有可达基本情况的递归函数，下列哪个说法是正确的？

A编译器总会把它变成能安全结束的循环
B它会自动返回 0
C它会不断调用自身，直到调用栈溢出
D它的运行时间为 O(1)

10.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

A因为 n 总是很小
BW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
C因为它只适用于 W = 0
D因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化

11.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

A无序集合
B栈
C最小优先队列
DFIFO 队列

12.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

A所有叶子都位于同一深度
B每个节点恰好有两个子节点
C每个节点只存储一个键
D键只存储在根中

13.图论中等

一棵树有 4 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 5

L =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4

15.数据库与 SQL中等

哪个 ACID 特性保证已提交的更改在系统崩溃后仍然存在？

A原子性
B持久性
C隔离性
D一致性

16.数据库与 SQL困难

两阶段锁（2PL）能保证：

A冲突可串行化的调度
B事务永远不需要等待
C永远不会发生死锁
D不需要任何锁

17.计算机网络中等

哪个子网掩码对应 /20？

A255.255.240.0
B255.255.255.240
C255.255.248.0
D255.255.224.0

18.计算机网络困难

在 SYN 泛洪攻击中，攻击者试图耗尽什么资源？

A客户端的 DNS 缓存
B交换机的 MAC 地址表
C服务器的半开连接表
D服务器的磁盘空间

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.72.20.0/22 被划分为前缀为 /29 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.72.20.0/22/29

N =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.227.83/23。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.227.83/23

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 201

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

55 = 0011 0111

取反后: 1100 1000

+1 → 1100 1001

按无符号数读取

1100 1001₂ = 256 − 55 = 201

答案

U = 201

2.数制

答案: R = 24

逐位计算

左移 3 位，把每一位向左移动 3 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1000 0011 << 3

= 0001 1000

结果的值

0001 1000₂ = 24

答案

R = 24

3.命题逻辑与证明

答案: 重言式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1: a ∧ b = 1, (a ∧ b) → a = 1

a = 1, b = 0: a ∧ b = 0, (a ∧ b) → a = 1

a = 0, b = 1: a ∧ b = 0, (a ∧ b) → a = 1

a = 0, b = 0: a ∧ b = 0, (a ∧ b) → a = 1

分类

(a ∧ b) → a: 1, 1, 1, 1

每一行都是 1：重言式。

答案

重言式

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ¬F(x)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x F(x) ≡ ∃x ¬F(x)

答案

∃x ¬F(x)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 10, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m10: m11, m8, m14, m2 → 0

孤立的 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

答案

AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: U = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

触发器的个数

2ⁿ ≥ 13 → n = 4 (2⁴ = 16)

未使用的状态

U = 16 − 13 = 3

答案

U = 3

7.数论与模运算

答案: 32⁻¹ mod 37 = 22

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·32 (mod 37)。

r = 37, t = 0

r = 32, q = 1, t = 1

r = 5, q = 6, t = −1

r = 2, q = 2, t = 7

r = 1, q = 2, t = −15

逆矩阵

1 ≡ −15·32 (mod 37)

x = 22

校核: 32·22 = 704 = 19·37 + 1

答案

32⁻¹ mod 37 = 22

8.数论与模运算

答案: N = 3

除以最大公约数

gcd(81, 84) = 3

27x ≡ 9 (mod 28)

解化简后的同余式

27⁻¹ ≡ 27 (mod 28) → x ≡ 19 (mod 28)

模 84 下的解

x ∈ {19, 47, 75}

树的握手引理

L + 20 = 2(L + 4) − 2

L = 14

答案

L = 14

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 11, C: 7

2. C (7): B: 8, E: 17

3. B (8): D: 19

4. E (17): F: 30

5. D (19)

每个 SYN 都使服务器预留状态并等待一个永远不会到来的 ACK。SYN cookie 可以在握手完成之前避免保存状态。

答案

C · 服务器的半开连接表

19.IPv4 子网划分

答案: N = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

29 − 22 = 7

子网数

N = 2⁷ = 128

答案

N = 128

每个 /29 子网有 2³ − 2 = 6 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 227

第三个八位组中的块大小

2¹ = 2

该主机所在子网

网络: 172.20.226.0

广播: 172.20.227.255

答案

x = 227

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