数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
设置各位，使其以 8 位补码存储 −79。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？
N = −798 bit
U =
2.数制困难
一幅未压缩图像为 1024 × 768 像素，每像素 32 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？
1024 × 768 px32 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。
(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q)
- 1重言式
- 2矛盾式
- 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难
前提为 r → (p ∨ q); r、结论为 p 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。
r → (p ∨ q)r∴ p
- 1p = 1, q = 1, r = 1
- 2p = 1, q = 1, r = 0
- 3p = 1, q = 0, r = 1
- 4p = 1, q = 0, r = 0
- 5p = 0, q = 1, r = 1
- 6p = 0, q = 1, r = 0
- 7p = 0, q = 0, r = 1
- 8p = 0, q = 0, r = 0
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
把 F = A′C′ + A′B′C + AB′C′ + A′C 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？
F = A′C′ + A′B′C + AB′C′ + A′C
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 7, 9, 10, 11, 15) + d(13, 14) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 4, 7, 9, 10, 11, 15) + d(13, 14)
L =
7.数论与模运算中等
解 29x ≡ 26 (mod 40)。给出满足 0 < x < 40 的解 x。
29x ≡ 26 (mod 40)
x =
8.数论与模运算困难
某个 RSA 密钥使用 p = 7，q = 19，e = 17。解密密文 c = 44：求消息 m。
p = 7q = 19e = 17c = 44
m =
9.算法与复杂度中等
在有 V 个顶点、E 条边的图上，Bellman–Ford 算法的时间复杂度是多少？
- AO(V³ × E)
- BO(E log V)
- CO(V + E)
- DO(V × E)
10.算法与复杂度困难
用自底向上的方法从 n 个无序元素构建二叉堆的时间复杂度是多少？
- AO(log n)
- BO(n log n)
- CO(n)
- DO(n²)
11.数据结构中等
含 V 个顶点的图的邻接矩阵占用多少内存？
- AO(E)
- BO(V + E)
- CO(V²)
- DO(log V)
12.数据结构困难
从二叉搜索树中删除一个有两个子节点的节点，通常的做法是：
- A从头重建它下面的整棵子树，并重新插入其中包含的每个键
- B删除整棵子树
- C将它与根节点交换
- D用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 6|E| = 6
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
普里姆算法从顶点 C 出发构造最小生成树。点选它加入的第 2 条边。
起点：Ck = 2
- 1边 AB
- 2边 AC
- 3边 BC
- 4边 BD
- 5边 CE
- 6边 DE
- 7边 BE
15.数据库与 SQL中等
某列包含值 10、20 和 NULL。AVG(col) 返回什么？
- A10
- B15
- CNULL
- D30
16.数据库与 SQL困难
与 3NF 相比，把表分解为 BCNF 的一个已知缺点是什么？
- A某些函数依赖可能无法再在单个表中检查
- B分解后再连接回来总会丢失数据
- CBCNF 比 3NF 允许更多冗余
- DBCNF 表不能有主键
17.计算机网络中等
一个 /26 的 IPv4 子网有多少个可用主机地址？
- A30
- B62
- C126
- D64
18.计算机网络困难
无穷计数问题出现在哪类路由协议中？什么方法有助于应对它？
- A路径向量协议；更长的 AS 路径
- B链路状态协议；泛洪链路更新
- C静态路由；添加默认路由
- D距离向量协议；水平分割和毒性逆转
19.IPv4 子网划分中等
网络 10.159.144.0/20 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？
10.159.144.0/20/26
N =
20.IPv4 子网划分困难
网络 192.168.186.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 49 主机, B: 9 主机, C: 4 主机, D: 14 主机, E: 30 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 B 的网络地址第四个八位组 x 是多少？
A: 49B: 9C: 4D: 14E: 30
x =
3溶液
1.数制
答案: U = 177
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
取反加一
79 = 0100 1111
取反后: 1011 0000
+1 → 1011 0001
按无符号数读取
1011 0001₂ = 256 − 79 = 177
答案
U = 177
2.数制
答案: M = 3072 KiB
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位和字节
1024·768·32 = 25165824 bit = 3145728 B
换算为 KiB
3145728/1024 = 3072 KiB
答案
M = 3072 KiB
3.命题逻辑与证明
答案: 矛盾式
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
逐行写出真值表
p = 1, q = 1: p ∨ q = 1, ¬p = 0, ¬q = 0, ¬p ∧ ¬q = 0, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
p = 1, q = 0: p ∨ q = 1, ¬p = 0, ¬q = 1, ¬p ∧ ¬q = 0, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
p = 0, q = 1: p ∨ q = 1, ¬p = 1, ¬q = 0, ¬p ∧ ¬q = 0, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
p = 0, q = 0: p ∨ q = 0, ¬p = 1, ¬q = 1, ¬p ∧ ¬q = 1, (p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q) = 0
分类
(p ∨ q) ∧ (¬p ∧ ¬q): 0, 0, 0, 0
每一行都是 0：矛盾式。
答案
矛盾式
4.命题逻辑与证明
答案: p = 0, q = 1, r = 1
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
逐行列出前提与结论
p = 1, q = 1, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 0 | 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 1 | 1
p = 1, q = 0, r = 0: 1 0 | 1
p = 0, q = 1, r = 1: 1 1 | 0
p = 0, q = 1, r = 0: 1 0 | 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 1 | 0
p = 0, q = 0, r = 0: 1 0 | 0
反例
p = 0, q = 1, r = 1
答案
p = 0, q = 1, r = 1
这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 3
布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。
表达式的最小项
A′C′ → m(0, 2)
A′B′C → m(1)
AB′C′ → m(4)
A′C → m(1, 3)
圈组并读出结果
F = B′C′ + A′
数出文字个数
L = 3
答案
L = 3
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 11
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′C′D, BCD, AD, AC, A′C′D′, A′B′C′
最小覆盖
F = B′C′D + BCD + AC + A′C′D′
L = 11
答案
L = 11
7.数论与模运算
答案: x = 34
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
29 的逆元
r = 40, t = 0
r = 29, q = 1, t = 1
r = 11, q = 2, t = −1
r = 7, q = 1, t = 3
r = 4, q = 1, t = −4
r = 3, q = 1, t = 7
r = 1, q = 3, t = −11
29−1 ≡ 29 (mod 40)
求解
x ≡ 29·26 = 754 ≡ 34 (mod 40)
校核: 29·34 = 986 ≡ 26 (mod 40)
答案
x = 34
8.数论与模运算
答案: m = 130
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
私钥指数
n = 133, φ(n) = 108
d = 17−1 mod 108 = 89
用反复平方法解密
89 = 64 + 16 + 8 + 1
441 ≡ 44 (mod 133)
442 ≡ 74 (mod 133)
444 ≡ 23 (mod 133)
448 ≡ 130 (mod 133)
4416 ≡ 9 (mod 133)
4432 ≡ 81 (mod 133)
4464 ≡ 44 (mod 133)
4489 ≡ 44·130·9·44 ≡ 130 (mod 133)
消息
m = 130
校核: 13017 mod 133 = 44
答案
m = 130
9.算法与复杂度
答案: D · O(V × E)
为什么是这个答案
V − 1 轮中的每一轮都松弛全部 E 条边，因此为 O(VE)；作为交换，它能处理负权边。
答案
D · O(V × E)
10.算法与复杂度
答案: C · O(n)
为什么是这个答案
对各层的下沉代价求和得到一个收敛级数，因此建堆（heapify）在线性时间内完成。
答案
C · O(n)
11.数据结构
答案: C · O(V²)
为什么是这个答案
邻接矩阵存储 V × V 个元素，适合稠密图；邻接表占用 O(V + E)，更适合稀疏图。
答案
C · O(V²)
12.数据结构
答案: D · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
为什么是这个答案
中序后继最多只有一个子节点，因此将其键复制到待删除节点后，可以轻松地删除它。
答案
D · 用它的中序后继（或前驱）替换它，然后删除那个节点
13.图论
答案: 都不是
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1
奇度顶点
A, B, D, F → 4
都不是
答案
都不是
14.图论
答案: 边 AC
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
普里姆算法
1. BC (7)
2. AC (11)
3. BD (13)
4. DE (17)
边的序号 2
AC
答案
边 AC
15.数据库与 SQL
答案: B · 15
为什么是这个答案
AVG 忽略 NULL，因此对 10 和 20 求平均得到 15，而不是 30 / 3 = 10。
答案
B · 15
16.数据库与 SQL
答案: A · 某些函数依赖可能无法再在单个表中检查
为什么是这个答案
无损的 BCNF 分解总是存在的，但它可能不保持依赖；3NF 分解则总能做到既无损又保持依赖。
答案
A · 某些函数依赖可能无法再在单个表中检查
17.计算机网络
答案: B · 62
为什么是这个答案
/26 有 6 个主机位：2⁶ = 64 个地址，减去网络地址和广播地址，得到 62 个可用主机地址。
答案
B · 62
18.计算机网络
答案: D · 距离向量协议；水平分割和毒性逆转
为什么是这个答案
发生故障后，距离向量路由器可能继续互相通告过时的路由，使度量值缓慢上升。水平分割、毒性逆转和最大度量值可以限制这一问题。
答案
D · 距离向量协议；水平分割和毒性逆转
19.IPv4 子网划分
答案: N = 64
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
26 − 20 = 6
子网数
N = 26 = 64
答案
N = 64
每个 /26 子网有 26 − 2 = 62 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: x = 112
VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。
每个局域网的块大小
A: 49 主机 → 26 = 64 (/26)
E: 30 主机 → 25 = 32 (/27)
D: 14 主机 → 24 = 16 (/28)
B: 9 主机 → 24 = 16 (/28)
C: 4 主机 → 23 = 8 (/29)
分配顺序，从大到小
A: .0 – .63
E: .64 – .95
D: .96 – .111
B: .112 – .127
C: .128 – .135
答案
x = 112
局域网 B：192.168.186.112/28。
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