计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1100 0100 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1100 01008 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1101 1111 >> 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 1111>> 2

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 r ∨ (p ∧ q) 在逻辑上等价？点选它。

r ∨ (p ∧ q)

1r ∧ (p ∨ q)
2(r ∨ p) ∧ q
3(r ∧ p) ∨ (r ∧ q)
4(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x ∀y R(x, y) 等价？点选它。

¬∃x ∀y R(x, y)

1∀x ∃y ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∃x ∃y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C，I₁ = C′，I₂ = 0，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = CI₁ = C′I₂ = 0I₃ = C

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15) + d(3, 6) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 14, 15) + d(3, 6)

L =

7.数论与模运算中等

解 15x ≡ 21 (mod 28)。给出满足 0 < x < 28 的解 x。

15x ≡ 21 (mod 28)

x =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (779, 11) 加密消息 m = 466。求密文 c。

n = 779e = 11m = 466

c =

9.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

A重叠子问题和最优子结构
B完全没有子问题，因此一步就能解决
C只有随机输入
D只有一个循环

10.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

AΘ(n log n)
BΘ(n³)
CΘ(n^{log₂ 3})，约为 n^1.585
DΘ(n²)

11.数据结构中等

一个应用需要快速查找，还需要按有序顺序列出键并回答范围查询。哪种结构最合适？

A平衡二叉搜索树
B无序链表
C哈希表
D栈

12.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

A按权重对边排序
B在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
C检查一条边的两个端点是否已经连通
D选择起始顶点

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 9

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3

15.数据库与 SQL中等

employees 表有一列 manager_id，引用另一名员工。如何在每名员工旁边列出其经理的姓名？

A用两个别名把 employees 表与它自身连接
B在磁盘上创建该表的第二个副本
C只使用 GROUP BY manager_id
D使用 UNION ALL 和 WHERE 过滤把该表与自身合并

16.数据库与 SQL困难

在多版本并发控制（MVCC）下，读取者如何避免阻塞写入者？

A读取者直接读取未提交的数据
B只要有读取者在活动，就不允许写入
C读取者总是等到所有写入者都提交
D读取者看到已提交行版本的一致快照，而写入者创建新版本

17.计算机网络中等

传统的共享式（半双工）以太网使用哪种介质访问方法？

ACSMA/CD
BCSMA/CA
C令牌传递
DTDMA

18.计算机网络困难

内容分发网络（CDN）主要如何提高 Web 性能？

A用更快的传输协议取代 TCP
B提高用户自己家庭连接的带宽
C免去 DNS 查询
D从靠近用户的服务器提供缓存内容

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1353 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1353 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.163.66/20。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.163.66/20

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −60

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 4 = −60

答案

N = −60

2.数制

答案: R = 55

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

右移 2 位，把每一位向右移动 2 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1101 1111 >> 2

= 0011 0111

结果的值

0011 0111₂ = 55

答案

R = 55

3.命题逻辑与证明

答案: (r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∨ 对 ∧ 有分配律：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

r ∨ (p ∧ q) ≡ (r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 0 1 0 1

p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 0 0 0 0

p = 0, q = 0, r = 1: 1 | 0 0 0 1

p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(r ∨ p) ∧ (r ∨ q)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答案

∀x ∃y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C + A′BC′ + ABC

F = 1 的行

ABC = 001, 010, 111

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 7

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

C, B′D′, AD′, AB′

最小覆盖

F = C + B′D′ + AD′ + AB′

L = 7

答案

L = 7

7.数论与模运算

答案: x = 7

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

15 的逆元

r = 28, t = 0

r = 15, q = 1, t = 1

r = 13, q = 1, t = −1

r = 2, q = 6, t = 2

r = 1, q = 2, t = −13

15⁻¹ ≡ 15 (mod 28)

求解

x ≡ 15·21 = 315 ≡ 7 (mod 28)

校核: 15·7 = 105 ≡ 21 (mod 28)

答案

x = 7

8.数论与模运算

答案: c = 603

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

11 = 8 + 2 + 1

466¹ ≡ 466 (mod 779)

466² ≡ 594 (mod 779)

C · 检查一条边的两个端点是否已经连通

13.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 2, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 3, deg(F) = 2, deg(G) = 2

奇度顶点

A, E → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: D

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 14

2. B (14): C: 29, D: 20, E: 26

3. D (20): E: 21, F: 26

4. E (21)

5. F (26)

CDN 在许多边缘位置放置内容副本，并（通常通过 DNS）把用户引导到附近的服务器。这降低了延迟以及源服务器的负载。

答案

D · 从靠近用户的服务器提供缓存内容

19.IPv4 子网划分

答案: p = 21

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1353

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1353 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 175

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: 172.20.160.0

广播: 172.20.175.255

答案

x = 175

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