数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1011 1011 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1011 10118 bit
N =
2.数制困难
把各位设置为 0100 0000 >> 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
0100 0000>> 1
R =
3.命题逻辑与证明中等
你想用反证法来证明 ¬p → (q ∨ r)。一开始要假设哪个命题？点选它。
¬p → (q ∨ r)
- 1¬¬p → ¬(q ∨ r)
- 2¬p ∧ ¬(q ∨ r)
- 3¬¬p ∧ ¬(q ∨ r)
- 4¬¬p ∧ (q ∨ r)
4.命题逻辑与证明困难
真值表的 16 行中，有多少行使 ((a → d) ∧ (c ∧ d)) ∨ (b → (a ∧ ¬b)) 为真？把这个数记作 N。
((a → d) ∧ (c ∧ d)) ∨ (b → (a ∧ ¬b))
N =
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
把 F = A′B′C + A′BC′ + A′BC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？
F = A′B′C + A′BC′ + A′BC
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 9, 10) + d(4, 5, 6) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？
F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 7, 9, 10) + d(4, 5, 6)
L =
7.数论与模运算中等
求 9 模 41 的逆元：满足 0 < x < 41 且 9·x ≡ 1 (mod 41) 的数 x。
a = 9n = 41
9−1 mod 41 =
8.数论与模运算困难
31 是素数。用费马小定理求 327747 mod 31。
p = 31k = 27747
327747 mod 31 =
9.算法与复杂度中等
递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？
- AO(n)
- BO(n²)
- CO(2ⁿ)
- DO(n log n)
10.算法与复杂度困难
使用主定理，T(n) = 8T(n/2) + O(n²) 的解是：
- AΘ(n log n)
- BΘ(n³)
- CΘ(n²)
- DΘ(n² log n)
11.数据结构中等
链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？
- A防止链表增长超过固定的最大节点数
- B使链表有序
- C存储元素的个数
- D通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
12.数据结构困难
为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？
- AB+ 树不需要保持平衡
- BB+ 树只在根中存储数据
- C所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
- DB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
13.图论中等
完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。
K6
H =
14.图论困难
长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。
M = 邻接矩阵L = 2
N =
15.数据库与 SQL中等
orders 表有 5 行，每行都引用一个已存在的客户。customers 表有 3 行。在 customer_id 上做 INNER JOIN 返回多少行？
- A3
- B15
- C5
- D8
16.数据库与 SQL困难
R(A, B, C, D) 有函数依赖 A → B 和 C → D。候选键是什么？
- A{A, C}
- B{A}
- C{C}
- D{B, D}
17.计算机网络中等
TLS 为 HTTPS 提供哪些安全特性？
- A仅加快加载速度
- B防御所访问网站上的所有恶意软件和网络钓鱼
- C机密性、完整性和服务器身份认证
- D用户匿名性
18.计算机网络困难
局域网上的攻击者发送伪造的 ARP 应答，声称自己拥有网关的 IP 地址。可能的结果是什么？
- A交换机关闭其所有端口
- B整个互联网上的所有 DNS 查询都失败
- C受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
- D网关的 IP 地址在每台路由器上都被永久更改为攻击者的地址
19.IPv4 子网划分中等
网络 10.185.220.0/22 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？
10.185.220.0/22/27
N =
20.IPv4 子网划分困难
一台主机的地址为 172.20.136.38/22。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？
172.20.136.38/22
x =
3溶液
1.数制
答案: N = −69
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1 = −69
答案
N = −69
2.数制
答案: R = 32
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
右移 1 位，把每一位向右移动 1 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。
0100 0000 >> 1
= 0010 0000
结果的值
0010 0000₂ = 32
答案
R = 32
3.命题逻辑与证明
答案: ¬p ∧ ¬(q ∨ r)
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
蕴涵的各个部分
a = ¬p, b = q ∨ r
蕴涵的否定
¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬p ∧ ¬(q ∨ r)
答案
¬p ∧ ¬(q ∨ r)
如果假设导致矛盾，则该蕴涵必为真。
4.命题逻辑与证明
答案: N = 10
真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。
各列
a → d; c ∧ d; (a → d) ∧ (c ∧ d); ¬b; a ∧ ¬b; b → (a ∧ ¬b); ((a → d) ∧ (c ∧ d)) ∨ (b → (a ∧ ¬b))
按 a 拆分
a = 1: 5
a = 0: 5
N = 5 + 5 = 10
答案
N = 10
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 4
布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。
表达式的最小项
A′B′C → m(1)
A′BC′ → m(2)
A′BC → m(3)
圈组并读出结果
F = A′C + A′B
数出文字个数
L = 4
答案
L = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 8
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′C′D, B′CD′, A′C′D, A′CD′, A′B
最小覆盖
F = B′C′D + B′CD′ + A′B
L = 8
答案
L = 8
7.数论与模运算
答案: 9−1 mod 41 = 32
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·9 (mod 41)。
r = 41, t = 0
r = 9, q = 4, t = 1
r = 5, q = 1, t = −4
r = 4, q = 1, t = 5
r = 1, q = 4, t = −9
逆矩阵
1 ≡ −9·9 (mod 41)
x = 32
校核: 9·32 = 288 = 7·41 + 1
答案
9−1 mod 41 = 32
8.数论与模运算
答案: 327747 mod 31 = 23
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
化简指数
27747 mod 30 = 27
327747 ≡ 327 (mod 31)
小的幂
327 mod 31 = 23
答案
327747 mod 31 = 23
9.算法与复杂度
答案: C · O(2ⁿ)
为什么是这个答案
调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。
答案
C · O(2ⁿ)
10.算法与复杂度
答案: B · Θ(n³)
为什么是这个答案
log₂ 8 = 3，且 n² 比 n³ 增长慢，因此叶子层占主导：Θ(n³)。
答案
B · Θ(n³)
11.数据结构
答案: D · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
为什么是这个答案
有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。
答案
D · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
12.数据结构
答案: C · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
为什么是这个答案
在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。
答案
C · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
13.图论
答案: H = 60
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
计数
H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60
答案
H = 60
14.图论
答案: N = 4
度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。
邻接矩阵
A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0
公共邻点
(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 = 4
答案
N = 4
15.数据库与 SQL
答案: C · 5
为什么是这个答案
每个订单都恰好找到一个匹配的客户，因此连接结果每个订单一行，共 5 行。
答案
C · 5
16.数据库与 SQL
答案: A · {A, C}
为什么是这个答案
A 和 C 不被任何属性决定，因此每个键都必须同时包含两者，并且 {A, C}+ = {A, B, C, D}。
答案
A · {A, C}
17.计算机网络
答案: C · 机密性、完整性和服务器身份认证
为什么是这个答案
TLS 加密流量、检测篡改，并通过证书认证服务器（也可选择认证客户端）。
答案
C · 机密性、完整性和服务器身份认证
18.计算机网络
答案: C · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
为什么是这个答案
ARP 欺骗用攻击者的 MAC 污染主机 ARP 缓存中网关 IP 的条目。攻击者随后可以读取、篡改或丢弃流量；动态 ARP 检测有助于防范这种攻击。
答案
C · 受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能
19.IPv4 子网划分
答案: N = 32
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
27 − 22 = 5
子网数
N = 25 = 32
答案
N = 32
每个 /27 子网有 25 − 2 = 30 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: x = 139
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
第三个八位组中的块大小
22 = 4
该主机所在子网
网络: 172.20.136.0
广播: 172.20.139.255
答案
x = 139
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