计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1010 1011 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1010 10118 bit

N =

2.数制困难

24 位能容纳的最大无符号整数 N 是多少？

24 bit

N =

3.命题逻辑与证明中等

(q → r) → (r → q) 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

(q → r) → (r → q)

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))

1∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
2∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
3∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
4∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 8, 12, 14) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(4, 5, 8, 12, 14)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 8, 15) + d(2, 11)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 3, 8, 15) + d(2, 11)

N =

7.数论与模运算中等

求 13 模 19 的逆元：满足 0 < x < 19 且 13·x ≡ 1 (mod 19) 的数 x。

a = 13n = 19

13⁻¹ mod 19 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 7 和 q = 43，公钥指数 e = 13。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 7q = 43e = 13

d =

9.算法与复杂度中等

硬币面值为 1、3 和 4，金额为 6，贪心的"先取最大硬币"方法使用多少枚硬币？与最优解相比如何？

A贪心用 3 枚；最优解是 3 枚
B贪心用 4 枚；最优解是 3 枚
C贪心用 3 枚；最优解是 2 枚
D贪心用 2 枚；最优解是 2 枚

10.算法与复杂度困难

哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？

ADijkstra 算法
BFloyd–Warshall
C从一个节点出发的 Prim 算法
DKruskal 算法

11.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

A其右子树中最左边的节点
B其左子树中最右边的节点
C总是它的右子节点
D总是它的父节点

12.数据结构困难

要使哈希表正确工作，哈希与相等性必须遵守哪条规则？

A哈希值必须是素数
B相等的键必须具有相等的哈希值
C哈希值相等意味着键相等
D不同的键必须具有不同的哈希值

13.图论中等

一棵树有 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 43 × deg 5

L =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

15.数据库与 SQL中等

ROLLBACK TO SAVEPOINT s1 的作用是什么？

A删除该保存点以及此后更改过的所有表
B结束事务并提交所有内容
C撤销保存点 s1 之后所做的更改，事务保持打开
D从头撤销整个事务

16.数据库与 SQL困难

给定 R(A, B, C, D) 上的函数依赖 A → B、B → C 和 C → D，闭包 A⁺ 是什么？

A{A}
B{A, B, C, D}
C{A, B}
D{A, B, C}

17.计算机网络中等

TLS 通常如何使用非对称加密和对称加密？

A全程只使用非对称加密
B只使用对称加密，配合一个固定的共享密码
C对称方法用于协商密钥和认证；非对称密码用于加密全部数据
D非对称方法用于协商密钥和认证；对称密码用于加密数据

18.计算机网络困难

一台 PC 能访问本子网中的打印机，但无法访问子网以外的任何地方。它的 IP 地址和掩码都正确。最可能的故障是什么？

A互联网上存在重复的 MAC 地址
B默认网关缺失或错误
CTCP 窗口太小
DDNS 服务器设置有误

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.248.0。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.248.0

H =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.58.26.0/24, 10.58.27.0/24, 10.58.28.0/24, 10.58.29.0/24, 10.58.30.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.58.26.0/24 … 10.58.30.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: N = −85

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 32 + 8 + 2 + 1 = −85

答案

N = −85

2.数制

答案: N = 1.678 × 10⁷

最大值

2²⁴ − 1 = 16777215

答案

N = 16777215

3.命题逻辑与证明

答案: 偶然式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

q = 1, r = 1: q → r = 1, r → q = 1, (q → r) → (r → q) = 1

q = 1, r = 0: q → r = 0, r → q = 1, (q → r) → (r → q) = 1

q = 0, r = 1: q → r = 1, r → q = 0, (q → r) → (r → q) = 0

q = 0, r = 0: q → r = 1, r → q = 1, (q → r) → (r → q) = 1

分类

(q → r) → (r → q): 1, 1, 0, 1

在 4 行中有 3 行为 1，其余为 0：偶然式。

答案

偶然式

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答案

∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 9

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

AC′D′

ABD′

A′BC′

最简 SOP 形式

F = AC′D′ + ABD′ + A′BC′

L = 9

答案

L = 9

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′C′D′, B′CD, ACD, A′B′

必要质蕴涵项

B′C′D′, ACD, A′B′

N = 3

答案

N = 3

7.数论与模运算

答案: 13⁻¹ mod 19 = 3

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·13 (mod 19)。

r = 19, t = 0

r = 13, q = 1, t = 1

r = 6, q = 2, t = −1

r = 1, q = 6, t = 3

逆矩阵

1 ≡ 3·13 (mod 19)

x = 3

校核: 13·3 = 39 = 2·19 + 1

答案

13⁻¹ mod 19 = 3

8.数论与模运算

答案: d = 97

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 7·43 = 301

φ(n) = 6·42 = 252

扩展欧几里得算法

r = 252, t = 0

r = 13, q = 19, t = 1

r = 5, q = 2, t = −19

r = 3, q = 1, t = 39

r = 2, q = 1, t = −58

r = 1, q = 2, t = 97

私钥指数

d = 97

树的握手引理

L + 31 = 2(L + 7) − 2

L = 19

答案

L = 19

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 7, C: 4

2. C (4): G: 5

3. G (5): D: 17, E: 13

4. B (7)

5. E (13): F: 28

6. D (17)

主机把发往子网外的数据包发给默认网关。如果网关错误或缺失，本地流量仍然正常，但外部什么都访问不到，即使使用 IP 地址也一样。

答案

B · 默认网关缺失或错误

19.IPv4 子网划分

答案: H = 2046

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.248.0 = /21

可用主机数

2¹¹ − 2 = 2046

答案

H = 2046

20.IPv4 子网划分

答案: p = 21

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

26 = 00011010

30 = 00011110

相同的前导位：5

前缀长度

p = 16 + 5 = 21

答案

p = /21

汇总路由：10.58.24.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 3 个网络）。

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