计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 1111 0011 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1111 00118 bit

N =

2.数制困难

某系统要为 3376 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

3376

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 (p ∨ r) → q 在逻辑上等价？点选它。

(p ∨ r) → q

1(p ∧ r) → q
2(p → q) ∨ (r → q)
3(p → q) ∧ (r → q)
4p ∨ (r → q)

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x (P(x) → Q(x)) 等价？点选它。

¬∃x (P(x) → Q(x))

1∀x (¬P(x) → ¬Q(x))
2∃x (P(x) ∧ ¬Q(x))
3∀x (P(x) → ¬Q(x))
4∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 1，I₁ = C′，I₂ = C′，I₃ = 1。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 1I₁ = C′I₂ = C′I₃ = 1

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 11, 15) + d(7, 12, 13) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 3, 6, 11, 15) + d(7, 12, 13)

L =

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 8 (mod 12) 和 x ≡ 4 (mod 13) 的最小正整数 x。

x ≡ 8 (mod 12)x ≡ 4 (mod 13)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 11 和 q = 19，公钥指数 e = 17。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 11q = 19e = 17

d =

9.算法与复杂度中等

在有 V 个顶点、E 条边的图上，Bellman–Ford 算法的时间复杂度是多少？

AO(V³ × E)
BO(V × E)
CO(V + E)
DO(E log V)

10.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

AO(n) 时间和 O(1) 空间
BO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
CO(n) 时间和 O(n) 空间
DO(log n) 时间和 O(n) 空间

11.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

AO(log V)
BO(V)
CO(E)
DO(1)

12.数据结构困难

原地反转一个单链表的时间和额外空间代价各是多少？

AO(n) 时间和 O(1) 额外空间
BO(1) 时间和 O(1) 额外空间
CO(n log n) 时间和 O(1) 额外空间
DO(n) 时间和 O(n) 额外空间

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

一个表在每一行订单上都存储了客户地址。只修改其中一行的地址而不修改其他行，这是哪种情况的例子？

A删除异常
B插入异常
C更新异常
D幻读

16.数据库与 SQL困难

什么是幻读（phantom read）？

A读取了未提交的修改
B读取了从未写入的数据
C一个不返回任何行的查询
D重复执行的查询返回了另一个已提交事务插入的新行

17.计算机网络中等

交换机通常工作在 OSI 的哪一层？

A数据链路层（第 2 层）
B物理层（第 1 层）
C网络层（第 3 层）
D传输层（第 4 层）

18.计算机网络困难

下列哪个地址是公网（而非 RFC 1918 私有）IPv4 地址？

A172.31.0.1
B10.255.0.1
C192.168.255.1
D172.32.0.1

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1066 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1066 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.66.12/29。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.66.12/29

x =

3溶液

1.数制

答案: N = −13

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 32 + 16 + 2 + 1 = −13

答案

N = −13

2.数制

答案: b = 12 bit

2 的幂

2¹¹ = 2048 < 3376

2¹² = 4096 ≥ 3376

答案

b = 12

3.命题逻辑与证明

答案: (p → q) ∧ (r → q)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

(a ∨ b) → c 要求只要 a 或 b 成立就必须有 c：(a → c) ∧ (b → c)。

(p ∨ r) → q ≡ (p → q) ∧ (r → q)

用真值表检验

p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 1, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 1

p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 1 1 0 1

p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1

p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 1 1 0 0

p = 0, q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

(p → q) ∧ (r → q)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x (P(x) → Q(x)) ≡ ∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

答案

∀x (P(x) ∧ ¬Q(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′ + A′BC′ + AB′C′ + AB

F = 1 的行

ABC = 000, 001, 010, 100, 110, 111

N = 6

答案

N = 6

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

CD, A′C, ABD

最小覆盖

F = CD + A′C

L = 4

答案

L = 4

7.数论与模运算

答案: x = 56

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 8 + 12k

第二个同余式

8 + 12k ≡ 4 (mod 13) → 12k ≡ 9 (mod 13)

k ≡ 12·9 ≡ 4 (mod 13)

结果

x = 8 + 12·4 = 56

x = 56

校核: 56 mod 12 = 8, 56 mod 13 = 4

答案

x = 56

8.数论与模运算

答案: d = 53

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 11·19 = 209

φ(n) = 10·18 = 180

扩展欧几里得算法

r = 180, t = 0

r = 17, q = 10, t = 1

r = 10, q = 1, t = −10

r = 7, q = 1, t = 11

r = 3, q = 2, t = −21

r = 1, q = 3, t = 53

私钥指数

d = 53

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 2

奇度顶点

A, B → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: d(F) = 17

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 1, C: 2

B (1): D: 5

C (2): E: 12, G: 8

D (5)

G (8)

E (12): F: 17

F (17)

最短路径

A → C → E → F

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1066

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1066 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 8

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊12/8⌋·8 = 8

广播: 8 + 8 − 1 = 15

可用主机: 9 … 14

答案

x = 8

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