数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1101 0110 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1101 01108 bit
N =
2.数制困难
把各位设置为 0010 1010 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
0010 1010<< 2
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 q ∨ (p ∧ r) 在逻辑上等价？点选它。
q ∨ (p ∧ r)
- 1(q ∨ p) ∧ (q ∨ r)
- 2(q ∨ p) ∧ r
- 3(q ∧ p) ∨ (q ∧ r)
- 4q ∧ (p ∨ r)
4.命题逻辑与证明困难
把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) 等价？点选它。
¬∀x (F(x) ∨ G(x))
- 1∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
- 2∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
- 3∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
- 4∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 5) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C) = Σm(0, 1, 3, 4, 5)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
对于 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 10, 14, 15) + d(3, 7, 12)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。
F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 5, 10, 14, 15) + d(3, 7, 12)
N =
7.数论与模运算中等
求欧拉函数 φ(18)，即 1 到 18 中与 18 互素的整数个数。
n = 18 = 2·32
φ(18) =
8.数论与模运算困难
某个 RSA 密钥使用 p = 37，q = 41，e = 13。解密密文 c = 1420：求消息 m。
p = 37q = 41e = 13c = 1420
m =
9.算法与复杂度中等
对于在满时将容量翻倍的动态数组，追加元素的均摊（amortised）时间复杂度是多少？
- AO(1)
- BO(n²)
- CO(log n)
- DO(n)
10.算法与复杂度困难
哪种算法通过反复加入不会形成环的最便宜的边来求最小生成树？
- AKruskal 算法
- BFloyd–Warshall
- C从一个节点出发的 Prim 算法
- DDijkstra 算法
11.数据结构中等
二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？
- A其左子树中最右边的节点
- B总是它的右子节点
- C总是它的父节点
- D其右子树中最左边的节点
12.数据结构困难
红黑树的规则对含 n 个键的树的高度给出了什么保证？
- A高度至多为 log2 n + 1
- B高度至多为 2 log2(n + 1)
- C高度恰好为 log2 n
- D高度至多为 n / 2
13.图论中等
一棵树有 2 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
2 × deg 42 × deg 5
L =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。
起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等
ACID 中的 "A" 代表什么？
- A可用性（Availability）
- B聚合性（Aggregation）
- C原子性（Atomicity）
- D准确性（Accuracy）
16.数据库与 SQL困难
为什么在标准 SQL 中 SELECT dept, name, COUNT(*) FROM emp GROUP BY dept 是无效的？
- ACOUNT(*) 不能与 GROUP BY 一起使用
- BGROUP BY 必须列出表的所有列
- Cname 既没有分组也没有聚合，因此每组没有唯一的值
- Ddept 必须出现在聚合函数中
17.计算机网络中等
一个 /24 的 IPv4 网络有多少个可用主机地址？
- A255
- B256
- C252
- D254
18.计算机网络困难
在 TCP 连接中，接收窗口（rwnd）控制什么？
- A重传超时时间，根据每个报文段测得的往返时间计算
- B根据接收方缓冲区，发送方可以发送多少未确认的数据
- C打开的端口数量
- D每个 IP 数据包头部的大小
19.IPv4 子网划分中等
网络 172.20.0.0/16 被划分为前缀为 /20 的等大子网。共有多少个子网 N？
172.20.0.0/16/20
N =
20.IPv4 子网划分困难
一台主机的地址为 172.20.90.140/23。其所在子网广播地址的第三个八位组 x 是多少？
172.20.90.140/23
x =
3溶液
1.数制
答案: N = −42
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 64 + 16 + 4 + 2 = −42
答案
N = −42
2.数制
答案: R = 168
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。
0010 1010 << 2
= 1010 1000
结果的值
1010 1000₂ = 168
答案
R = 168
3.命题逻辑与证明
答案: (q ∨ p) ∧ (q ∨ r)
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
∨ 对 ∧ 有分配律：a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
q ∨ (p ∧ r) ≡ (q ∨ p) ∧ (q ∨ r)
用真值表检验
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 0 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 0 0
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 0, q = 1, r = 0: 1 | 1 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
答案
(q ∨ p) ∧ (q ∨ r)
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
把否定移到内部
¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
答案
∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 2
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
B′
A′C
最简 SOP 形式
F = B′ + A′C
N = 2
答案
N = 2
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 2
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
B′CD′, BCD, ACD′, A′B′D′, A′BD, ABD′, A′B′C, ABC
必要质蕴涵项
A′B′D′, A′BD
N = 2
答案
N = 2
7.数论与模运算
答案: φ(18) = 6
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
素因数
18 = 2·32
欧拉函数值
φ(18) = φ(2)·φ(9) = 1·6 = 6
答案
φ(18) = 6
8.数论与模运算
答案: m = 1457
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
私钥指数
n = 1517, φ(n) = 1440
d = 13−1 mod 1440 = 997
用反复平方法解密
997 = 512 + 256 + 128 + 64 + 32 + 4 + 1
14201 ≡ 1420 (mod 1517)
14202 ≡ 307 (mod 1517)
14204 ≡ 195 (mod 1517)
14208 ≡ 100 (mod 1517)
142016 ≡ 898 (mod 1517)
142032 ≡ 877 (mod 1517)
142064 ≡ 10 (mod 1517)
1420128 ≡ 100 (mod 1517)
1420256 ≡ 898 (mod 1517)
1420512 ≡ 877 (mod 1517)
1420997 ≡ 1420·195·877·10·100·898·877 ≡ 1457 (mod 1517)
消息
m = 1457
校核: 145713 mod 1517 = 1420
答案
m = 1457
9.算法与复杂度
答案: A · O(1)
为什么是这个答案
只有在元素个数达到 2 的幂时才会复制全部元素；将其分摊到所有追加操作上，每次追加的平均代价是常数。
答案
A · O(1)
10.算法与复杂度
答案: A · Kruskal 算法
为什么是这个答案
Kruskal 按权重对边排序，若一条边连接不同的连通分量就加入它；Prim 则从一个起始顶点开始扩展一棵树。
答案
A · Kruskal 算法
11.数据结构
答案: D · 其右子树中最左边的节点
为什么是这个答案
所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。
答案
D · 其右子树中最左边的节点
12.数据结构
答案: B · 高度至多为 2 log2(n + 1)
为什么是这个答案
每条路径上的黑色节点数相同，且红色节点不能相邻，因此最长路径至多是最短路径的两倍，从而高度为 O(log n)。
答案
B · 高度至多为 2 log2(n + 1)
13.图论
答案: L = 12
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 18 = 2(L + 4) − 2
L = 12
答案
L = 12
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: d(F) = 26
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 9
B (9): D: 22, G: 13
G (13): C: 28, D: 18, E: 17
E (17): F: 26
D (18)
F (26)
C (28)
最短路径
A → B → G → E → F
d(F) = 26
答案
d(F) = 26
15.数据库与 SQL
答案: C · 原子性（Atomicity）
为什么是这个答案
ACID：atomicity、consistency、isolation、durability。原子性指事务要么完全执行，要么完全不执行。
答案
C · 原子性（Atomicity）
16.数据库与 SQL
答案: C · name 既没有分组也没有聚合，因此每组没有唯一的值
为什么是这个答案
SELECT 列表中的每一列都必须出现在 GROUP BY 中或位于聚合函数内（或函数依赖于分组列）；否则其值是不确定的。
答案
C · name 既没有分组也没有聚合，因此每组没有唯一的值
17.计算机网络
答案: D · 254
为什么是这个答案
/24 有 8 个主机位，因此有 2⁸ = 256 个地址。网络地址和广播地址被保留，剩下 254 个给主机。
答案
D · 254
18.计算机网络
答案: B · 根据接收方缓冲区，发送方可以发送多少未确认的数据
为什么是这个答案
接收方通告其可用的缓冲区空间；发送方据此限制未确认的数据量，防止接收方过载。
答案
B · 根据接收方缓冲区，发送方可以发送多少未确认的数据
19.IPv4 子网划分
答案: N = 16
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
借用位
20 − 16 = 4
子网数
N = 24 = 16
答案
N = 16
每个 /20 子网有 212 − 2 = 4094 个可用主机。
20.IPv4 子网划分
答案: x = 91
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
第三个八位组中的块大小
21 = 2
该主机所在子网
网络: 172.20.90.0
广播: 172.20.91.255
答案
x = 91
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