计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −72 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −728 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 768 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

768

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(q ∧ r) 在逻辑上等价？点选它。

¬(q ∧ r)

1¬q ∨ r
2¬q ∧ ¬r
3¬q ∨ ¬r
4¬q ∧ r

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 p → q; p。由它们可以推出哪个结论？点选它。

p → qp

1¬p
2q
3¬q
4p ∧ ¬q

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

把 F = A′B′C + BC + A′BC 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = A′B′C + BC + A′BC

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 7 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

7.数论与模运算中等

求 10 模 39 的逆元：满足 0 < x < 39 且 10·x ≡ 1 (mod 39) 的数 x。

a = 10n = 39

10⁻¹ mod 39 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 31，q = 41，e = 23。解密密文 c = 896：求消息 m。

p = 31q = 41e = 23c = 896

m =

9.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

A先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
B选择最早开始的活动
C选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
D先选择最短的活动

10.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

AP 中的每个问题也都属于 NP
BNP 问题无法被快速验证
CNP 表示“not polynomial”（非多项式）
D已经证明 P ≠ NP

11.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

A固定大小的队列
B二叉搜索树
C图的遍历
D哈希函数

12.数据结构困难

哪种数据结构可以支持 get 和 put 均为 O(1) 的 LRU（最近最少使用）缓存？

A单个有序数组
B仅栈
C哈希表与双向链表相结合
D仅二叉搜索树

13.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 2 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 33 × deg 42 × deg 5

L =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 4 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 4

15.数据库与 SQL中等

第二范式（2NF）消除了：

A外键
B非键列对复合键一部分的部分依赖
C非键列之间通过另一个非键列形成的传递依赖
D所有 NULL 值

16.数据库与 SQL困难

查询 FROM customers c LEFT JOIN orders o ON o.customer_id = c.id WHERE o.status = 'paid' 意外地丢掉了没有订单的客户。为什么？

Astatus 是保留字
BLEFT JOIN 从不保留不匹配的行
C对 o 的 WHERE 条件拒绝了用 NULL 填充的行，使其变成了内连接
D连接应该使用 USING 而不是 ON

17.计算机网络中等

VLAN 的主要用途是什么？

A提高每个交换机端口的速度
B加密交换机之间的所有流量，使其他部门无法读取
C把一个物理交换网络划分成多个独立的广播域
D给每台设备分配一个公网 IP 地址

18.计算机网络困难

一个 TCP 连接的窗口为 64 KB，往返时间为 100 ms，且没有窗口扩大。它的最大吞吐量大约是多少？

A约 0.5 Mbit/s
B约 50 Mbit/s
C约 5 Mbit/s
D约 640 Mbit/s

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.3.0/24 被划分为若干 /26 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 3 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.3.0/24/26子网 3 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.189.62/28。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.189.62/28

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 184

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

72 = 0100 1000

取反后: 1011 0111

+1 → 1011 1000

按无符号数读取

1011 1000₂ = 256 − 72 = 184

答案

U = 184

2.数制

答案: b = 10 bit

2 的幂

2⁹ = 512 < 768

2¹⁰ = 1024 ≥ 768

答案

b = 10

3.命题逻辑与证明

答案: ¬q ∨ ¬r

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。

¬(q ∧ r) ≡ ¬q ∨ ¬r

用真值表检验

q = 1, r = 1: 0 | 1 0 0 0

q = 1, r = 0: 1 | 0 0 1 0

q = 0, r = 1: 1 | 1 0 1 1

q = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0

答案

¬q ∨ ¬r

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: q

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

p = 1, q = 1: ¬p = 0, q = 1, ¬q = 0, p ∧ ¬q = 0

结论

q (肯定前件式)

答案

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

A′B′C → m(1)

BC → m(3, 7)

A′BC → m(3)

圈组并读出结果

F = BC + A′C

数出文字个数

L = 4

答案

L = 4

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 1, K = 0 → Q = 1

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 1, K = 0 → Q = 1

4: J = 0, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 1 → Q = 0

6: J = 1, K = 1 → Q = 1

7: J = 0, K = 1 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 0

N = 6

答案

N = 6

7.数论与模运算

答案: 10⁻¹ mod 39 = 4

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·10 (mod 39)。

r = 39, t = 0

r = 10, q = 3, t = 1

r = 9, q = 1, t = −3

r = 1, q = 9, t = 4

逆矩阵

1 ≡ 4·10 (mod 39)

x = 4

校核: 10·4 = 40 = 1·39 + 1

答案

10⁻¹ mod 39 = 4

8.数论与模运算

答案: m = 381

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 1271, φ(n) = 1200

d = 23⁻¹ mod 1200 = 887

用反复平方法解密

887 = 512 + 256 + 64 + 32 + 16 + 4 + 2 + 1

896¹ ≡ 896 (mod 1271)

896² ≡ 815 (mod 1271)

896⁴ ≡ 763 (mod 1271)

896⁸ ≡ 51 (mod 1271)

896¹⁶ ≡ 59 (mod 1271)

896³² ≡ 939 (mod 1271)

896⁶⁴ ≡ 918 (mod 1271)

896¹²⁸ ≡ 51 (mod 1271)

896²⁵⁶ ≡ 59 (mod 1271)

896⁵¹² ≡ 939 (mod 1271)

896⁸⁸⁷ ≡ 896·815·763·59·939·918·59·939 ≡ 381 (mod 1271)

消息

m = 381

树的握手引理

L + 34 = 2(L + 9) − 2

L = 18

答案

L = 18

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 9, C: 11

2. B (9): D: 23, E: 15

3. C (11): E: 14

4. E (14): D: 17, F: 28

5. D (17): F: 25

吞吐量 ≤ 窗口 / RTT = 65,536 × 8 比特 / 0.1 s ≈ 5.2 Mbit/s，无论链路有多快。

答案

C · 约 5 Mbit/s

19.IPv4 子网划分

答案: x = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2⁶ = 64

第 3 个子网

网络: (3 − 1)·64 = 128

广播: 128 + 64 − 1 = 191

答案

x = 128

20.IPv4 子网划分

答案: x = 63

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: ⌊62/16⌋·16 = 48

广播: 48 + 16 − 1 = 63

可用主机: 49 … 62

答案

x = 63

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