计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −78。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −788 bit

U =

2.数制困难

一幅未压缩图像为 256 × 256 像素，每像素 32 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

256 × 256 px32 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，(¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a)

N =

4.命题逻辑与证明困难

前提为 q → p; ¬q、结论为 ¬p 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。

q → p¬q∴ ¬p

1p = 1, q = 1
2p = 1, q = 0
3p = 0, q = 1
4p = 0, q = 0

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 4, 6, 7) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 4, 6, 7)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0D

N =

7.数论与模运算中等

求 31 模 58 的逆元：满足 0 < x < 58 且 31·x ≡ 1 (mod 58) 的数 x。

a = 31n = 58

31⁻¹ mod 58 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (329, 11) 加密消息 m = 66。求密文 c。

n = 329e = 11m = 66

c =

9.算法与复杂度中等

一个函数先运行一个 n 次迭代的循环，然后再单独运行另一个 n 次迭代的循环。它的时间复杂度是多少？

AO(log n)
BO(2ⁿ)
CO(n)
DO(n²)

10.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

A电路可满足性问题
B合取范式公式上的一般 SAT
C3-SAT，每个子句恰好有三个文字
D2-SAT，每个子句至多有两个文字

11.数据结构中等

哈希表在负载因子超过阈值后进行再哈希（rehash）时会发生什么？

A只把发生冲突的键移到表末尾的新溢出链表中
B对现有的键原地排序
C删除最旧的键以腾出空间
D分配一个更大的表，并把每个键重新插入

12.数据结构困难

为什么数据库和文件系统中使用 B 树？

A其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取
B它们比任何数组占用的内存都少，因此整个索引始终可以放进主存
C它们不需要再平衡
D它们以无序方式存储数据

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

哪个 ACID 特性保证已提交的更改在系统崩溃后仍然存在？

A原子性
B一致性
C隔离性
D持久性

16.数据库与 SQL困难

给定 R(A, B, C, D) 上的函数依赖 A → B、B → C 和 C → D，闭包 A⁺ 是什么？

A{A, B, C}
B{A, B}
C{A, B, C, D}
D{A}

17.计算机网络中等

信号以约 2 × 10⁸ m/s 的速度在光纤中传播 2000 km。传播时延是多少？

A0.1 ms
B10 ms
C1 ms
D100 ms

18.计算机网络困难

局域网上的攻击者发送伪造的 ARP 应答，声称自己拥有网关的 IP 地址。可能的结果是什么？

A交换机关闭其所有端口
B网关的 IP 地址在每台路由器上都被永久更改为攻击者的地址
C整个互联网上的所有 DNS 查询都失败
D受害者把发给网关的流量发给攻击者，使中间人攻击成为可能

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.157.184.0/22 被划分为前缀为 /27 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.157.184.0/22/27

N =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.57.13.0/24, 10.57.14.0/24, 10.57.15.0/24, 10.57.16.0/24, 10.57.17.0/24, 10.57.18.0/24, 10.57.19.0/24, 10.57.20.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.57.13.0/24 … 10.57.20.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: U = 178

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

78 = 0100 1110

取反后: 1011 0001

+1 → 1011 0010

按无符号数读取

1011 0010₂ = 256 − 78 = 178

答案

U = 178

2.数制

答案: M = 256 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

256·256·32 = 2097152 bit = 262144 B

换算为 KiB

262144/1024 = 256 KiB

答案

M = 256 KiB

3.命题逻辑与证明

答案: N = 6

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

a = 1, b = 1, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ b = 0, c ∨ b = 1, (c ∨ b) → a = 1, ¬((c ∨ b) → a) = 0, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 1

a = 1, b = 1, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ b = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) → a = 1, ¬((c ∨ b) → a) = 0, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 0

a = 1, b = 0, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ b = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) → a = 1, ¬((c ∨ b) → a) = 0, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 0

a = 1, b = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ b = 0, c ∨ b = 0, (c ∨ b) → a = 1, ¬((c ∨ b) → a) = 0, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 1

a = 0, b = 1, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ b = 0, c ∨ b = 1, (c ∨ b) → a = 0, ¬((c ∨ b) → a) = 1, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 1

a = 0, b = 1, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ b = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) → a = 0, ¬((c ∨ b) → a) = 1, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 1

a = 0, b = 0, c = 1: ¬c = 0, ¬c ↔ b = 1, c ∨ b = 1, (c ∨ b) → a = 0, ¬((c ∨ b) → a) = 1, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 1

a = 0, b = 0, c = 0: ¬c = 1, ¬c ↔ b = 0, c ∨ b = 0, (c ∨ b) → a = 1, ¬((c ∨ b) → a) = 0, (¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a) = 1

数出值为 1 的行数

(¬c ↔ b) → ¬((c ∨ b) → a): 1, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1

N = 6

答案

N = 6

4.命题逻辑与证明

答案: p = 1, q = 0

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

逐行列出前提与结论

p = 1, q = 1: 1 0 | 0

p = 1, q = 0: 1 1 | 0

p = 0, q = 1: 0 0 | 1

p = 0, q = 0: 1 1 | 1

反例

p = 1, q = 0

答案

p = 1, q = 0

这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′C

AC′

最简 SOP 形式

F = B + A′C + AC′

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 6

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 1 → Q = 1

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 0 → Q = 0

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 1 → Q = 1

6: D = 0 → Q = 0

7: D = 1 → Q = 1

8: D = 0 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 1 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 0

N = 6

答案

N = 6

7.数论与模运算

答案: 31⁻¹ mod 58 = 15

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·31 (mod 58)。

r = 58, t = 0

r = 31, q = 1, t = 1

r = 27, q = 1, t = −1

r = 4, q = 6, t = 2

r = 3, q = 1, t = −13

r = 1, q = 3, t = 15

逆矩阵

1 ≡ 15·31 (mod 58)

x = 15

校核: 31·15 = 465 = 8·58 + 1

答案

31⁻¹ mod 58 = 15

8.数论与模运算

答案: c = 264

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

11 = 8 + 2 + 1

66¹ ≡ 66 (mod 329)

66² ≡ 79 (mod 329)

A · 其较高的分支因子使树保持较浅，从而减少缓慢的磁盘读取

13.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

14.图论

答案: d(F) = 27

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): C: 8

C (8): B: 14, E: 18

B (14): D: 29

E (18): D: 25, F: 27

D (25)

F (27)

最短路径

A → C → E → F

借用位

27 − 22 = 5

子网数

N = 2⁵ = 32

答案

N = 32

每个 /27 子网有 2⁵ − 2 = 30 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: p = 19

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

13 = 00001101

20 = 00010100

相同的前导位：3

前缀长度

p = 16 + 3 = 19

答案

p = /19

汇总路由：10.57.0.0/19 （它还覆盖了列表中没有的 24 个网络）。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals