计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −46。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −468 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 0100 0100 AND 1011 0100 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0100 0100AND1011 0100

R =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) 在多少行为真？把这个数记作 N。

((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r)

N =

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 a ∨ b; ¬a。由它们可以推出哪个结论？点选它。

a ∨ b¬a

1a ∧ b
2a
3¬b
4b

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 10, 11, 12, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 4, 5, 10, 11, 12, 14)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，在 7 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0JK

N =

7.数论与模运算中等

求 9 模 13 的逆元：满足 0 < x < 13 且 9·x ≡ 1 (mod 13) 的数 x。

a = 9n = 13

9⁻¹ mod 13 =

8.数论与模运算困难

67 是素数。用费马小定理求 2⁷⁵⁰⁵⁶ mod 67。

p = 67k = 75056

2⁷⁵⁰⁵⁶ mod 67 =

9.算法与复杂度中等

当问题具有以下特征时，动态规划（dynamic programming）很有用：

A只有随机输入
B只有一个循环
C完全没有子问题，因此一步就能解决
D重叠子问题和最优子结构

10.算法与复杂度困难

取一个极大匹配中每条边的两个端点，可以得到一个顶点覆盖。这个覆盖有多好？

A至多是最小值的 log n 倍
B至多是最小顶点覆盖大小的两倍
C与最优解相比质量未知
D总是一个最小顶点覆盖

11.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

Ah²
B2^h
C2^h+1 − 1
D2h + 1

12.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

A实现栈
B在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
C通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
D存储图的边

13.图论中等

完全图 K₈ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₈

H =

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

对于电话号码为 NULL 的客户，SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers 返回什么？

ANULL
B空字符串
C'unknown'
D报错

16.数据库与 SQL困难

为什么在生产查询中使用 NATURAL JOIN 被认为有风险？

A它总是返回笛卡尔积
B没有任何数据库支持它
C它在所有同名列上连接，因此新增一列可能悄无声息地改变结果
D它忽略主键和外键，只保留 NULL 行

17.计算机网络中等

子网掩码 255.255.255.0 对应的 CIDR 表示法是什么？

A/16
B/24
C/32
D/8

18.计算机网络困难

在 TCP 连接中，接收窗口（rwnd）控制什么？

A打开的端口数量
B每个 IP 数据包头部的大小
C根据接收方缓冲区，发送方可以发送多少未确认的数据
D重传超时时间，根据每个报文段测得的往返时间计算

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.239.0/24 被划分为若干 /25 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 2 的广播地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.239.0/24/25子网 2 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.210.159.0/24, 10.210.160.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.210.159.0/24 … 10.210.160.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: U = 210

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

46 = 0010 1110

取反后: 1101 0001

+1 → 1101 0010

按无符号数读取

1101 0010₂ = 256 − 46 = 210

答案

U = 210

2.数制

答案: R = 4

逐位计算

AND 只有在两位都为 1 时才得 1。

0100 0100

AND 1011 0100

= 0000 0100

结果的值

0000 0100₂ = 4

答案

R = 4

3.命题逻辑与证明

答案: N = 7

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: r ∧ p = 1, ¬p = 0, ¬q = 0, ¬p → ¬q = 1, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 1, q ↔ r = 1, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 1, q = 1, r = 0: r ∧ p = 0, ¬p = 0, ¬q = 0, ¬p → ¬q = 1, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 1, q ↔ r = 0, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: r ∧ p = 1, ¬p = 0, ¬q = 1, ¬p → ¬q = 1, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 1, q ↔ r = 0, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 1, q = 0, r = 0: r ∧ p = 0, ¬p = 0, ¬q = 1, ¬p → ¬q = 1, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 1, q ↔ r = 1, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: r ∧ p = 0, ¬p = 1, ¬q = 0, ¬p → ¬q = 0, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 0, q ↔ r = 1, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 0, q = 1, r = 0: r ∧ p = 0, ¬p = 1, ¬q = 0, ¬p → ¬q = 0, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 0, q ↔ r = 0, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: r ∧ p = 0, ¬p = 1, ¬q = 1, ¬p → ¬q = 1, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 1, q ↔ r = 0, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

p = 0, q = 0, r = 0: r ∧ p = 0, ¬p = 1, ¬q = 1, ¬p → ¬q = 1, (r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q) = 1, q ↔ r = 1, ((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r) = 1

数出值为 1 的行数

((r ∧ p) ∨ (¬p → ¬q)) ∨ (q ↔ r): 1, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 1

N = 7

答案

N = 7

4.命题逻辑与证明

答案: b

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

a = 0, b = 1: a ∧ b = 0, a = 0, ¬b = 0, b = 1

结论

b (析取三段论)

答案

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(B + C + D′)

(A + C′)

(A′ + B′ + D′)

(A′ + B + C)

最简 POS 形式

F = (B + C + D′)(A + C′)(A′ + B′ + D′)(A′ + B + C)

N = 4

答案

N = 4

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 0 → Q = 0

2: J = 0, K = 1 → Q = 0

3: J = 0, K = 0 → Q = 0

4: J = 1, K = 1 → Q = 1

5: J = 1, K = 0 → Q = 1

6: J = 0, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 1 → 0

N = 2

答案

N = 2

7.数论与模运算

答案: 9⁻¹ mod 13 = 3

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·9 (mod 13)。

r = 13, t = 0

r = 9, q = 1, t = 1

r = 4, q = 2, t = −1

r = 1, q = 4, t = 3

逆矩阵

1 ≡ 3·9 (mod 13)

x = 3

校核: 9·3 = 27 = 2·13 + 1

答案

9⁻¹ mod 13 = 3

8.数论与模运算

答案: 2⁷⁵⁰⁵⁶ mod 67 = 36

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

B · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

13.图论

答案: H = 2520

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520

14.图论

答案: d(F) = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 14, C: 11

C (11): E: 21

B (14): D: 18

D (18): E: 19

E (19): F: 23

F (23)

最短路径

A → B → D → E → F

块大小

2⁷ = 128

第 2 个子网

网络: (2 − 1)·128 = 128

广播: 128 + 128 − 1 = 255

答案

x = 255

20.IPv4 子网划分

答案: p = 18

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

159 = 10011111

160 = 10100000

相同的前导位：2

前缀长度

p = 16 + 2 = 18

答案

p = /18

汇总路由：10.210.128.0/18 （它还覆盖了列表中没有的 62 个网络）。

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