计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −41。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −418 bit
U =
2.数制困难
2617 个编码，b = ? 位?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

某系统要为 2617 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

2617
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
(a ∧ c) ∧ ¬b¬(a ∧ c) ∧ ¬b¬(a ∧ c) → ¬b¬(a ∧ c) ∧ b

你想用反证法来证明 (a ∧ c) → b。一开始要假设哪个命题？点选它。

(a ∧ c) → b
  1. 1(a ∧ c) ∧ ¬b
  2. 2¬(a ∧ c) ∧ ¬b
  3. 3¬(a ∧ c) → ¬b
  4. 4¬(a ∧ c) ∧ b
4.命题逻辑与证明困难
¬cc¬aa ∧ ¬c

已知前提 a → c; a。由它们可以推出哪个结论？点选它。

a → ca
  1. 1¬c
  2. 2c
  3. 3¬a
  4. 4a ∧ ¬c
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111011111

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 5, 12, 13, 15)
  1. 1AB = 00, CD = 00
  2. 2AB = 00, CD = 01
  3. 3AB = 00, CD = 11
  4. 4AB = 00, CD = 10
  5. 5AB = 01, CD = 00
  6. 6AB = 01, CD = 01
  7. 7AB = 01, CD = 11
  8. 8AB = 01, CD = 10
  9. 9AB = 11, CD = 00
  10. 10AB = 11, CD = 01
  11. 11AB = 11, CD = 11
  12. 12AB = 11, CD = 10
  13. 13AB = 10, CD = 00
  14. 14AB = 10, CD = 01
  15. 15AB = 10, CD = 11
  16. 16AB = 10, CD = 10
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKT123456

一个上升沿触发的 T 触发器从 Q = 0 开始，在 6 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0T
N =
7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(289)，即 1 到 289 中与 289 互素的整数个数。

n = 289 = 172
φ(289) =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1739, 19)d = ?

某个 RSA 密钥使用素数 p = 37 和 q = 47，公钥指数 e = 19。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 37q = 47e = 19
d =
9.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = 2T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(2ⁿ)
10.算法与复杂度困难

拓扑排序只适用于：

  1. A无向图
  2. B有向无环图（DAG）
  3. C完全图
  4. D带负权重的图
11.数据结构中等

在平衡二叉搜索树中查找一个键的时间复杂度是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(log n)
  3. CO(1)
  4. DO(n)
12.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

  1. A对数组排序和二分查找
  2. B在任意位置插入元素
  3. C以 O(1) 求中位数
  4. D前缀和查询和单个元素更新
13.图论中等

一棵树有 2 个度为 3 的顶点, 3 个度为 4 的顶点, 4 个度为 5 的顶点, 4 个度为 2 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

2 × deg 33 × deg 44 × deg 54 × deg 2
L =
14.图论困难
19711812152011ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =
15.数据库与 SQL中等

一个表中有些行的 col 为 NULL。WHERE col = NULL 返回哪些行？

  1. A只返回 col 为 NULL 的行，与 IS NULL 相同
  2. B不返回任何行，因为比较结果是未知
  3. C返回表中的所有行
  4. D在每种数据库中都报错
16.数据库与 SQL困难

为什么在标准 SQL 中 SELECT dept, name, COUNT(*) FROM emp GROUP BY dept 是无效的？

  1. Aname 既没有分组也没有聚合，因此每组没有唯一的值
  2. BGROUP BY 必须列出表的所有列
  3. Cdept 必须出现在聚合函数中
  4. DCOUNT(*) 不能与 GROUP BY 一起使用
17.计算机网络中等

为什么 Wi-Fi 使用冲突避免（CSMA/CA）而不是冲突检测？

  1. A无线站点在发送时无法可靠地检测到冲突
  2. BWi-Fi 每个网络只允许一台设备
  3. C无线电信号从不发生冲突
  4. D冲突检测只在光纤线缆上起作用，在共享的无线信道上不起作用
18.计算机网络困难

一台 8 端口交换机（无 VLAN）的每个端口上连接一台主机。共有多少个冲突域和广播域？

  1. A1 个冲突域，1 个广播域
  2. B8 个冲突域，1 个广播域
  3. C1 个冲突域，8 个广播域
  4. D8 个冲突域，8 个广播域
19.IPv4 子网划分中等
/24 → /2611111111111111111111111111000000网络位主机位

网络 10.186.153.0/24 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.186.153.0/24/26
N =
20.IPv4 子网划分困难
第三个八位组 178 … 183112806413211608041201相同不同

一台路由器有到以下网络的路由：10.21.178.0/24, 10.21.179.0/24, 10.21.180.0/24, 10.21.181.0/24, 10.21.182.0/24, 10.21.183.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.21.178.0/24 … 10.21.183.0/24
p =

3溶液

1.数制

答案: U = 215

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

41 = 0010 1001
取反后: 1101 0110
+1 → 1101 0111

按无符号数读取

1101 0111₂ = 256 − 41 = 215

答案

U = 215
2.数制

答案: b = 12 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

211 = 2048 < 2617
212 = 4096 ≥ 2617

答案

b = 12
3.命题逻辑与证明

答案: (a ∧ c) ∧ ¬b

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = a ∧ c, b = b

蕴涵的否定

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (a ∧ c) ∧ ¬b

答案

(a ∧ c) ∧ ¬b

如果假设导致矛盾，则该蕴涵必为真。

4.命题逻辑与证明

答案: c

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

a = 1, c = 1: ¬c = 0, c = 1, ¬a = 0, a ∧ ¬c = 0

结论

c (肯定前件式)

答案

c
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 00, CD = 00

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m0: m1, m2, m4, m8 → 0
ABCD000111100001111011111

孤立的 1

m0 = A′B′C′D′ → AB = 00, CD = 00

答案

AB = 00, CD = 00
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

T 触发器在 T = 1 时每个上升沿翻转，在 T = 0 时保持。

1: T = 1 → Q = 1
2: T = 0 → Q = 1
3: T = 1 → Q = 0
4: T = 0 → Q = 0
5: T = 1 → Q = 1
6: T = 0 → Q = 1

数出变化的次数

0 → 1 → 1 → 0 → 0 → 1 → 1
N = 3

答案

N = 3
7.数论与模运算

答案: φ(289) = 272

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

289 = 172

欧拉函数值

φ(289) = 289 − 17 = 272

答案

φ(289) = 272
8.数论与模运算

答案: d = 523

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 37·47 = 1739
φ(n) = 36·46 = 1656

扩展欧几里得算法

r = 1656, t = 0
r = 19, q = 87, t = 1
r = 3, q = 6, t = −87
r = 1, q = 3, t = 523

私钥指数

d = 523
校核: 19·523 = 9937 = 6·1656 + 1

答案

d = 523
9.算法与复杂度

答案: D · O(2ⁿ)

为什么是这个答案

调用次数每深入一层就翻倍，共有 n 层，因此总数约为 2ⁿ，就像汉诺塔问题一样。

答案

D · O(2ⁿ)
10.算法与复杂度

答案: B · 有向无环图（DAG）

为什么是这个答案

当且仅当有向图中没有环时才存在拓扑序；可以用 DFS 或 Kahn 算法在 O(V + E) 内求出。

答案

B · 有向无环图（DAG）
11.数据结构

答案: B · O(log n)

为什么是这个答案

平衡树的高度约为 log₂ n，因此查找只需沿着从根到叶的一条路径进行。

答案

B · O(log n)
12.数据结构

答案: D · 前缀和查询和单个元素更新

为什么是这个答案

树状数组存储由每个下标的低位所确定区间上的部分和，因此前缀和与单点更新都只需 O(log n)。

答案

D · 前缀和查询和单个元素更新
13.图论

答案: L = 22

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 46 = 2(L + 13) − 2
L = 22

答案

L = 22

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

14.图论

答案: W = 52

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (1): 取
AC (7): 取
BE (11): 取
CE (12): 跳过，会形成圈
DF (15): 取
BD (18): 取

总权重

W = 1 + 7 + 11 + 15 + 18 = 52

答案

W = 52
15.数据库与 SQL

答案: B · 不返回任何行，因为比较结果是未知

为什么是这个答案

用 = 与 NULL 进行任何比较都得到 UNKNOWN，而 WHERE 只保留结果为 TRUE 的行；应改用 col IS NULL。

答案

B · 不返回任何行，因为比较结果是未知
16.数据库与 SQL

答案: A · name 既没有分组也没有聚合，因此每组没有唯一的值

为什么是这个答案

SELECT 列表中的每一列都必须出现在 GROUP BY 中或位于聚合函数内（或函数依赖于分组列）；否则其值是不确定的。

答案

A · name 既没有分组也没有聚合，因此每组没有唯一的值
17.计算机网络

答案: A · 无线站点在发送时无法可靠地检测到冲突

为什么是这个答案

无线发射机在发送时听不到其他较弱的信号，而且有些站点彼此隐藏。因此 802.11 采用随机退避等待并使用确认。

答案

A · 无线站点在发送时无法可靠地检测到冲突
18.计算机网络

答案: B · 8 个冲突域，1 个广播域

为什么是这个答案

交换机的每个端口都是一个独立的冲突域，但广播会被转发到所有端口，因此整台交换机是一个广播域。若换成集线器，则冲突域和广播域各只有一个。

答案

B · 8 个冲突域，1 个广播域
19.IPv4 子网划分

答案: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

26 − 24 = 2

子网数

N = 22 = 4

答案

N = 4

每个 /26 子网有 26 − 2 = 62 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: p = 21

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

178 = 10110010
183 = 10110111
相同的前导位：5

前缀长度

p = 16 + 5 = 21

答案

p = /21

汇总路由：10.21.176.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 2 个网络）。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals