数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
把 −94 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？
N = −948 bit
U =
2.数制困难
把各位设置为 1001 1110 OR 1101 1110 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？
1001 1110OR1101 1110
R =
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 ¬(r ∨ p) 在逻辑上等价？点选它。
¬(r ∨ p)
- 1¬r ∧ ¬p
- 2r ∨ ¬p
- 3¬r ∨ ¬p
- 4¬r ∧ p
4.命题逻辑与证明困难
把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x A(x) 等价？点选它。
¬∀x A(x)
- 1∀x A(x)
- 2∀x ¬A(x)
- 3∃x ¬A(x)
- 4∃x A(x)
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 5, 7) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？
F(A, B, C) = Σm(1, 2, 3, 5, 7)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
一个约翰逊（扭环）计数器由 8 个 D 触发器构成，最后一个输出取反后反馈到第一个输入，并从全 0 开始。它经历多少种不同的状态 N？
n = 8
N =
7.数论与模运算中等
求 8 模 31 的逆元：满足 0 < x < 31 且 8·x ≡ 1 (mod 31) 的数 x。
a = 8n = 31
8−1 mod 31 =
8.数论与模运算困难
某个 RSA 密钥使用素数 p = 23 和 q = 29，公钥指数 e = 13。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。
p = 23q = 29e = 13
d =
9.算法与复杂度中等
对长度为 m 和 n 的两个字符串求最长公共子序列，标准动态规划算法的时间复杂度是多少？
- AO(mn log n)
- BO(2m+n)
- CO(mn)
- DO(m + n)
10.算法与复杂度困难
在有 V 个顶点、E 条边的图上，使用二叉堆的 Dijkstra 算法运行时间是多少？
- AO((V + E) log V)
- BO(V³)
- CO(V + E)
- DO(V × E)
11.数据结构中等
把键 50、30、70、20、40 按此顺序插入一棵空的二叉搜索树。30 的左子节点是什么？
- A50
- B70
- C20
- D40
12.数据结构困难
把键 5、3、8、1 按此顺序插入一个空的基于数组的二叉最小堆。最终的数组是什么？
- A[1, 3, 5, 8]
- B[1, 5, 8, 3]
- C[3, 1, 8, 5]
- D[1, 3, 8, 5]
13.图论中等
一棵树有 4 个度为 3 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？
4 × deg 3
L =
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。
起点：A终点：D
d(D) =
15.数据库与 SQL中等
什么是数据库触发器？
- A用户手动运行的查询
- B数据库的定时备份
- C一种加快搜索的索引
- D当表上发生 INSERT、UPDATE 或 DELETE 等指定事件时自动运行的代码
16.数据库与 SQL困难
表 employee(emp_id, dept_id, dept_name) 的键是 emp_id，且 dept_id → dept_name。哪种说法正确？
- A它不满足 2NF
- B它满足 BCNF，因此也满足 3NF
- C它满足 2NF 但不满足 3NF
- D它不满足 1NF
17.计算机网络中等
TLS 为 HTTPS 提供哪些安全特性？
- A用户匿名性
- B防御所访问网站上的所有恶意软件和网络钓鱼
- C仅加快加载速度
- D机密性、完整性和服务器身份认证
18.计算机网络困难
为什么网站出示自签名证书时浏览器会发出警告？
- A没有受信任的证书颁发机构担保该密钥属于该网站
- B自签名证书根本不使用加密，因此流量以明文发送
- C该网站一定在使用 HTTP 而不是 HTTPS
- D该证书总是已过期
19.IPv4 子网划分中等
网络 192.168.124.0/24 被划分为若干 /26 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 2 的广播地址的第四个八位组 x 是多少？
192.168.124.0/24/26子网 2 (子网 1 从 .0 开始)
x =
20.IPv4 子网划分困难
一台路由器有到以下网络的路由：10.74.161.0/24, 10.74.162.0/24, 10.74.163.0/24, 10.74.164.0/24, 10.74.165.0/24, 10.74.166.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？
10.74.161.0/24 … 10.74.166.0/24
p =
3溶液
1.数制
答案: U = 162
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
取反加一
94 = 0101 1110
取反后: 1010 0001
+1 → 1010 0010
按无符号数读取
1010 0010₂ = 256 − 94 = 162
答案
U = 162
2.数制
答案: R = 222
设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。
逐位计算
OR 在至少有一位为 1 时得 1。
1001 1110
OR 1101 1110
= 1101 1110
结果的值
1101 1110₂ = 222
答案
R = 222
3.命题逻辑与证明
答案: ¬r ∧ ¬p
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
德摩根律：¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b。∨ 变成 ∧，并且两个部分都取否定。
¬(r ∨ p) ≡ ¬r ∧ ¬p
用真值表检验
p = 1, r = 1: 0 | 0 1 0 0
p = 1, r = 0: 0 | 0 0 1 1
p = 0, r = 1: 0 | 0 1 1 0
p = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0
答案
¬r ∧ ¬p
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: ∃x ¬A(x)
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
把否定移到内部
¬∀x A(x) ≡ ∃x ¬A(x)
答案
∃x ¬A(x)
其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 2
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 0
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
(B + C)
(A′ + C)
最简 POS 形式
F = (B + C)(A′ + C)
N = 2
答案
N = 2
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 16
触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。
8 个触发器的序列
00000000 → 10000000 → 11000000 → 11100000 → 11110000 → 11111000 → 11111100 → 11111110 → 11111111 → 01111111 → 00111111 → 00011111 → 00001111 → 00000111 → 00000011 → 00000001
状态数
N = 16
答案
N = 16
7.数论与模运算
答案: 8−1 mod 31 = 4
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
扩展欧几里得算法
每个余数 r 都写成 r ≡ t·8 (mod 31)。
r = 31, t = 0
r = 8, q = 3, t = 1
r = 7, q = 1, t = −3
r = 1, q = 7, t = 4
逆矩阵
1 ≡ 4·8 (mod 31)
x = 4
校核: 8·4 = 32 = 1·31 + 1
答案
8−1 mod 31 = 4
8.数论与模运算
答案: d = 237
模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。
模数与欧拉函数值
n = 23·29 = 667
φ(n) = 22·28 = 616
扩展欧几里得算法
r = 616, t = 0
r = 13, q = 47, t = 1
r = 5, q = 2, t = −47
r = 3, q = 1, t = 95
r = 2, q = 1, t = −142
r = 1, q = 2, t = 237
私钥指数
d = 237
校核: 13·237 = 3081 = 5·616 + 1
答案
d = 237
9.算法与复杂度
答案: C · O(mn)
为什么是这个答案
表格有 (m + 1)(n + 1) 个单元，每个单元都由相邻单元在 O(1) 内算出。
答案
C · O(mn)
10.算法与复杂度
答案: A · O((V + E) log V)
为什么是这个答案
共有 V 次 extract-min 和至多 E 次 decrease-key 操作，每次为 O(log V)；斐波那契堆可将其改进为 O(E + V log V)。
答案
A · O((V + E) log V)
11.数据结构
答案: C · 20
为什么是这个答案
20 比 50 小，也比 30 小，因此成为 30 的左子节点；40 成为 30 的右子节点。
答案
C · 20
12.数据结构
答案: D · [1, 3, 8, 5]
为什么是这个答案
插入 5、3、8 之后数组为 [3, 5, 8]；1 放到下标 3，先与父节点 5 交换，再与 3 交换，得到 [1, 3, 8, 5]。
答案
D · [1, 3, 8, 5]
13.图论
答案: L = 6
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
树的握手引理
L + 12 = 2(L + 4) − 2
L = 6
答案
L = 6
捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。
14.图论
答案: d(D) = 14
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 4, C: 5
B (4): D: 14, E: 11
C (5)
E (11)
D (14): F: 21
F (21)
最短路径
A → B → D
d(D) = 14
答案
d(D) = 14
15.数据库与 SQL
答案: D · 当表上发生 INSERT、UPDATE 或 DELETE 等指定事件时自动运行的代码
为什么是这个答案
触发器在数据变化之前或之后自动执行，例如写入审计日志或强制执行复杂的规则。
答案
D · 当表上发生 INSERT、UPDATE 或 DELETE 等指定事件时自动运行的代码
16.数据库与 SQL
答案: C · 它满足 2NF 但不满足 3NF
为什么是这个答案
键只有一列，因此满足 2NF，但 emp_id → dept_id → dept_name 是传递依赖，违反了 3NF。
答案
C · 它满足 2NF 但不满足 3NF
17.计算机网络
答案: D · 机密性、完整性和服务器身份认证
为什么是这个答案
TLS 加密流量、检测篡改，并通过证书认证服务器（也可选择认证客户端）。
答案
D · 机密性、完整性和服务器身份认证
18.计算机网络
答案: A · 没有受信任的证书颁发机构担保该密钥属于该网站
为什么是这个答案
浏览器信任由其信任库中的 CA 直接或通过证书链签发的证书。自签名证书任何人都能制作，包括中间人。
答案
A · 没有受信任的证书颁发机构担保该密钥属于该网站
19.IPv4 子网划分
答案: x = 127
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
块大小
26 = 64
第 2 个子网
网络: (2 − 1)·64 = 64
广播: 64 + 64 − 1 = 127
答案
x = 127
20.IPv4 子网划分
答案: p = 21
路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。
比较各位
161 = 10100001
166 = 10100110
相同的前导位：5
前缀长度
p = 16 + 5 = 21
答案
p = /21
汇总路由：10.74.160.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 2 个网络）。
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