计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −109。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −1098 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1010 0000 >> 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1010 0000>> 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(b ∨ c) 在逻辑上等价？点选它。

¬(b ∨ c)

1¬b ∨ ¬c
2b ∨ ¬c
3¬b ∧ ¬c
4¬b ∧ c

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) ∨ G(x)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) ∨ G(x))

1∃x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
2∀x (¬F(x) ∨ ¬G(x))
3∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))
4∀x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2) 的最简积之和 (SOP) 形式。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C) = Σm(0, 1, 2)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

对于 F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 8, 11) + d(1, 3, 9, 10, 13)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(4, 6, 8, 11) + d(1, 3, 9, 10, 13)

N =

7.数论与模运算中等

求 16 模 39 的逆元：满足 0 < x < 39 且 16·x ≡ 1 (mod 39) 的数 x。

a = 16n = 39

16⁻¹ mod 39 =

8.数论与模运算困难

在 {0, 1, …, 76} 中，42x ≡ 70 (mod 77) 有多少个解 N？

42x ≡ 70 (mod 77)

N =

9.算法与复杂度中等

哪种排序算法是稳定的？

A堆排序
B快速排序（常见的原地版本）
C选择排序（常见版本）
D归并排序

10.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

A因为 n 总是很小
BW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
C因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
D因为它只适用于 W = 0

11.数据结构中等

关于无向图的邻接矩阵，下列哪项是正确的？

A它总是上三角矩阵
B每一行恰好有一个 1
C它关于主对角线对称
D它的主对角线上总是 1

12.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

A通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
B实现栈
C存储图的边
D在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

13.图论中等

完全图 K₄ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₄

H =

14.图论困难

长度为 2 且起点和终点都是 E 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2

N =

15.数据库与 SQL中等

为什么 SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 在大多数数据库中会失败？

AWHERE 在 SELECT 列表之前计算，此时别名还不存在
BWHERE 只能比较文本列
CSELECT 列表中不允许进行算术运算
D别名中不能包含下划线

16.数据库与 SQL困难

一个表有一百万行，布尔列 is_active 中有 95% 为 TRUE。为什么对于 WHERE is_active = TRUE，优化器可能不使用 is_active 上的索引？

A优化器从不在 WHERE 子句中使用索引
B索引把 TRUE 当作 NULL 处理
C不能在布尔列上创建索引
D大多数行都匹配，因此全表扫描比大量索引查找更便宜

17.计算机网络中等

一台路由器有到 10.0.0.0/8 和 10.1.0.0/16 的路由。对于发往 10.1.5.5 的数据包，它使用哪条路由？

A10.0.0.0/8，因为它比 /16 覆盖的地址更多
B两条路由都用，平分流量
C10.0.0.0/8，因为它是先添加的
D10.1.0.0/16，因为它是最长匹配前缀

18.计算机网络困难

HTTP/1.1 中持久连接（keep-alive）的主要好处是什么？

A连接无需 TLS 也能保持加密
B多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手
C响应可以在一个流上以任意顺序到达，因此慢的回复不会阻塞其他回复
D服务器可以通过 UDP 推送更新

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.252.0。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.252.0

H =

20.IPv4 子网划分困难

一台主机的地址为 172.20.20.93/21。其网络地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.20.93/21

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 147

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

109 = 0110 1101

取反后: 1001 0010

+1 → 1001 0011

按无符号数读取

1001 0011₂ = 256 − 109 = 147

答案

U = 147

2.数制

答案: R = 80

逐位计算

右移 1 位，把每一位向右移动 1 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1010 0000 >> 1

= 0101 0000

结果的值

0101 0000₂ = 80

答案

R = 80

3.命题逻辑与证明

答案: ¬b ∧ ¬c

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b。∨ 变成 ∧，并且两个部分都取否定。

¬(b ∨ c) ≡ ¬b ∧ ¬c

用真值表检验

b = 1, c = 1: 0 | 0 1 0 0

b = 1, c = 0: 0 | 1 1 0 0

b = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 1

b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 0

答案

¬b ∧ ¬c

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) ∨ G(x)) ≡ ∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

答案

∃x (¬F(x) ∧ ¬G(x))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′C′

A′B′

最简 SOP 形式

F = A′C′ + A′B′

N = 2

答案

N = 2

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′D, AB′, A′BD′

必要质蕴涵项

AB′, A′BD′

N = 2

答案

N = 2

7.数论与模运算

答案: 16⁻¹ mod 39 = 22

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·16 (mod 39)。

r = 39, t = 0

r = 16, q = 2, t = 1

r = 7, q = 2, t = −2

r = 2, q = 3, t = 5

r = 1, q = 2, t = −17

逆矩阵

1 ≡ −17·16 (mod 39)

x = 22

校核: 16·22 = 352 = 9·39 + 1

答案

16⁻¹ mod 39 = 22

8.数论与模运算

答案: N = 7

除以最大公约数

gcd(42, 77) = 7

6x ≡ 10 (mod 11)

解化简后的同余式

6⁻¹ ≡ 2 (mod 11) → x ≡ 9 (mod 11)

模 77 下的解

x ∈ {9, 20, 31, 42, 53, 64, 75}

计数

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

答案

H = 3

14.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 0 0

C: 1 1 0 0 1 0

B · 多个请求复用一个 TCP 连接，避免重复握手

19.IPv4 子网划分

答案: H = 1022

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.252.0 = /22

可用主机数

2¹⁰ − 2 = 1022

答案

H = 1022

20.IPv4 子网划分

答案: x = 16

第三个八位组中的块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: 172.20.16.0

广播: 172.20.23.255

答案

x = 16

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