计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −88。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −888 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1101 0100 >> 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 0100>> 2

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 c ∧ (a ∨ b) 在逻辑上等价？点选它。

c ∧ (a ∨ b)

1(c ∨ a) ∧ (c ∨ b)
2c ∨ (a ∧ b)
3(c ∧ a) ∨ (c ∧ b)
4(c ∧ a) ∨ b

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃y ∀x ¬R(x, y)
2∀x ∃y ¬R(x, y)
3∀x ∀y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 9, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 2, 4, 5, 6, 9, 14)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 5 kHz 的时钟驱动一个模 8 计数器。求其最高位输出的频率 f_out，该输出每个计数周期完成一个周期。

f_clk = 5 kHzN = 8

f_out = kHz

7.数论与模运算中等

求 5 模 17 的逆元：满足 0 < x < 17 且 5·x ≡ 1 (mod 17) 的数 x。

a = 5n = 17

5⁻¹ mod 17 =

8.数论与模运算困难

用 RSA 公钥 (n, e) = (1073, 11) 加密消息 m = 548。求密文 c。

n = 1073e = 11m = 548

c =

9.算法与复杂度中等

Prim 算法如何构建最小生成树？

A把所有边按权重排序，逐条加入，除非会在森林中形成环
B运行广度优先搜索并保留 BFS 树
C从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
D不断删除最贵的边，直到没有环为止

10.算法与复杂度困难

最短简单路径可以在多项式时间内求出。在一般图中求两个顶点之间的最长简单路径，已知情况如何？

A总能在 O(V + E) 内求解
B可以把权重取反后用 Dijkstra 算法求解
C它是不可判定的
D它是 NP 难的

11.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

A一个有序的顶点数组
B邻接矩阵
C邻接表
D一个由边组成的二叉堆

12.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

A先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
B先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
C在该节点处进行一次左旋
D在该节点处进行一次右旋

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

普里姆算法从顶点 A 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Ak = 3

1边 AC
2边 BC
3边 BD
4边 CE
5边 DE
6边 DF
7边 EF
8边 GC
9边 GE

15.数据库与 SQL中等

一个表中有些行的 col 为 NULL。WHERE col = NULL 返回哪些行？

A在每种数据库中都报错
B返回表中的所有行
C不返回任何行，因为比较结果是未知
D只返回 col 为 NULL 的行，与 IS NULL 相同

16.数据库与 SQL困难

表 employee(emp_id, dept_id, dept_name) 的键是 emp_id，且 dept_id → dept_name。哪种说法正确？

A它满足 2NF 但不满足 3NF
B它不满足 2NF
C它满足 BCNF，因此也满足 3NF
D它不满足 1NF

17.计算机网络中等

HTTP 方法 GET 和 POST 的主要区别是什么？

AGET 获取资源，POST 在请求体中提交数据
BGET 删除资源，POST 从服务器的数据库读取资源
CGET 使用 UDP，POST 使用 TCP
DGET 是加密的，POST 不是

18.计算机网络困难

一个远程终端应用程序反应迟缓，因为小的按键数据包被延迟发送。通常是哪种 TCP 机制造成的？

A三次握手
B快速重传
C慢启动
DNagle 算法

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.235.0/24 被划分为若干 /27 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 5 的广播地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.235.0/24/27子网 5 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.12.146/28。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.12.146/28

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 168

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

88 = 0101 1000

取反后: 1010 0111

+1 → 1010 1000

按无符号数读取

1010 1000₂ = 256 − 88 = 168

答案

U = 168

2.数制

答案: R = 53

逐位计算

右移 2 位，把每一位向右移动 2 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1101 0100 >> 2

= 0011 0101

结果的值

0011 0101₂ = 53

答案

R = 53

3.命题逻辑与证明

答案: (c ∧ a) ∨ (c ∧ b)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

∧ 对 ∨ 有分配律：a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)。

c ∧ (a ∨ b) ≡ (c ∧ a) ∨ (c ∧ b)

用真值表检验

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 0 | 1 1 0 1

a = 1, b = 0, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 0 | 0 0 0 1

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 1 1 0 0

a = 0, b = 0, c = 0: 0 | 0 0 0 0

答案

(c ∧ a) ∨ (c ∧ b)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答案

∃x ∀y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C′ + D′)

(A + B + D′)

(A′ + B + D)

(A′ + B′ + C)

最简 POS 形式

F = (C′ + D′)(A + B + D′)(A′ + B + D)(A′ + B′ + C)

N = 4

答案

N = 4

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: f_out = 0.625 kHz

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

分频

f_out = 5 kHz / 8 = 0.625 kHz

答案

f_out = 0.625 kHz

7.数论与模运算

答案: 5⁻¹ mod 17 = 7

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·5 (mod 17)。

r = 17, t = 0

r = 5, q = 3, t = 1

r = 2, q = 2, t = −3

r = 1, q = 2, t = 7

逆矩阵

1 ≡ 7·5 (mod 17)

x = 7

校核: 5·7 = 35 = 2·17 + 1

答案

5⁻¹ mod 17 = 7

8.数论与模运算

答案: c = 913

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

反复平方

11 = 8 + 2 + 1

548¹ ≡ 548 (mod 1073)

548² ≡ 937 (mod 1073)

B · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

13.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 2

奇度顶点

A, B, D, E → 4

都不是

答案

都不是

14.图论

答案: 边 GC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (2)

2. BC (3)

3. GC (4)

4. BD (13)

5. DE (8)

6. EF (15)

Nagle 算法在先前数据未被确认时等待，把小段捆绑在一起发送。这节省了带宽，但给交互式流量增加了延迟。

答案

D · Nagle 算法

19.IPv4 子网划分

答案: x = 159

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

块大小

2⁵ = 32

第 5 个子网

网络: (5 − 1)·32 = 128

广播: 128 + 32 − 1 = 159

答案

x = 159

20.IPv4 子网划分

答案: x = 158

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2⁴ = 16

该主机所在子网

网络: ⌊146/16⌋·16 = 144

广播: 144 + 16 − 1 = 159

可用主机: 145 … 158

答案

x = 158

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