数制
- 位权
- 二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
- 转为十进制
- Σ dk·bk
- 从十进制转换
- 除以基数，余数从下往上读
- 十六进制 ↔ 二进制
- 一位十六进制数 = 4 位二进制
- 二进制补码
- 按位取反后加 1
计算机科学导论：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
命题逻辑与证明
- 真值表的行数
- 2ⁿ
- 蕴涵
- p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
- 蕴涵的否定
- ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
- 双条件
- p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
- 德摩根律
- ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
- 分配律
- p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
- 量词的否定
- ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
- 肯定前件，否定后件
- p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p
方法
- 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
- 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
- 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
- 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
- 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。
数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
- 基本逻辑门
- A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
- 布尔规则
- X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
- 德摩根律
- (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
- 卡诺图的顺序
- 00, 01, 11, 10 (Gray code)
- 由 2ᵏ 个格子组成的圈
- 消去 k 个变量
- 4 选 1 多路选择器
- F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
- 触发器
- D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
- 计数器
- n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
- 行波计数器
- fmax = 1/(n·tpd)
- 环形计数器与约翰逊计数器
- n 个和 2n 个状态
方法
- 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
- 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
- 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
- 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。
数论与模运算
- 带余除法
- a = q·n + r, 0 ≤ r < n
- 欧几里得
- gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
- 最小公倍数
- lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
- 逆矩阵
- a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
- 线性同余方程
- a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
- 欧拉函数
- φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
- 费马
- aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
- RSA
- n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n
方法
- 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
- 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
- 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
- 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
- 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。
图论
- 握手引理
- Σ deg(v) = 2|E|
- 完全图
- |E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
- 正则图
- |E| = n·k/2
- 树与森林
- |E| = n − 1, |E| = n − c
- 树的叶子
- L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
- 欧拉
- 回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
- Kn 中的哈密顿回路
- (n − 1)!/2
- 迪杰斯特拉更新
- d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
- 长度为 L 的途径
- (Mᴸ)ij
方法
- 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
- 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
- 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
- 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
- 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。
IPv4 子网划分
- 每个子网的主机数
- 2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
- 块大小
- 256 − (mask octet)
- 网络地址
- IP AND 掩码
- 广播地址
- IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
- 借用 n 位得到的子网数
- 2n
2练习题
1.数制中等
8 位模式 1000 0101 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？
1000 01018 bit
N =
2.数制困难
某系统要为 103 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？
103
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
哪个公式与 p ∧ (r ∨ q) 在逻辑上等价？点选它。
p ∧ (r ∨ q)
- 1(p ∧ r) ∨ q
- 2p ∨ (r ∧ q)
- 3(p ∨ r) ∧ (p ∨ q)
- 4(p ∧ r) ∨ (p ∧ q)
4.命题逻辑与证明困难
已知前提 (p ∧ q) → r; p; ¬r。由它们可以推出哪个结论？点选它。
(p ∧ q) → rp¬r
- 1q ∧ ¬r
- 2r
- 3¬q
- 4q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
用卡诺图求 F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 6) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？
F(A, B, C) = Σm(0, 3, 4, 6)
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 11, 12, 13, 15) + d(1, 7, 10) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？
F(A, B, C, D) = Σm(0, 6, 11, 12, 13, 15) + d(1, 7, 10)
N =
7.数论与模运算中等
求欧拉函数 φ(484)，即 1 到 484 中与 484 互素的整数个数。
n = 484 = 22·112
φ(484) =
8.数论与模运算困难
解 22x ≡ 24 (mod 34)。给出最小的正解 x。
22x ≡ 24 (mod 34)
x =
9.算法与复杂度中等
递推式 T(n) = T(n − 1) + O(n) 的解是什么？
- AO(n)
- BO(n log n)
- CO(n²)
- DO(2ⁿ)
10.算法与复杂度困难
为什么哈希表的平均查找时间是 O(1)，而最坏情况是 O(n)？
- A数组的访问时间是 O(n)
- B许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
- C键必须先排序
- D哈希函数运行很慢
11.数据结构中等
后缀表达式 3 4 + 2 * 的值是多少？
- A10
- B14
- C11
- D24
12.数据结构困难
一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？
- A在该节点处进行一次左旋
- B在该节点处进行一次右旋
- C先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
- D先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
13.图论中等
这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。
|V| = 5|E| = 5
- 1欧拉回路
- 2有欧拉通路，无回路
- 3都不是
14.图论困难
用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 D 的最短路径的长度 d(D)。
起点：A终点：D
d(D) =
15.数据库与 SQL中等
SQL 中的视图（view）是：
- A表在磁盘上的副本
- B一个行为类似虚拟表的已存储查询
- C数据库客户端中用于浏览各个表的界面
- D一种索引类型
16.数据库与 SQL困难
FULL OUTER JOIN 返回什么？
- A仅匹配的行
- B仅不匹配的行
- C笛卡尔积，即一个表的每一行与另一个表的每一行两两配对
- D两个表的所有行，能匹配的进行配对，否则以 NULL 填充
17.计算机网络中等
为什么实时视频通话通常优先使用 UDP？
- AUDP 会自动加密数据
- B所有视频都必须使用 UDP
- CUDP 保证每个数据包都能到达，因此画面永远不会卡住
- D低延迟比重传每个丢失的数据包更重要
18.计算机网络困难
一位用户能 ping 通 8.8.8.8，却无法按名称打开任何网站。问题最可能出在哪里？
- A默认网关
- B物理线缆
- C网卡驱动程序
- D名称解析（DNS）
19.IPv4 子网划分中等
一个子网使用掩码 255.255.255.240。它有多少个可用主机地址 H？
255.255.255.240
H =
20.IPv4 子网划分困难
某主机地址为 10.20.244.159/28。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？
10.20.244.159/28
x =
3溶液
1.数制
答案: N = −123
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
位权相加
其余各位保持正常的正权值。
−128 + 4 + 1 = −123
答案
N = −123
2.数制
答案: b = 7 bit
位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。
2 的幂
26 = 64 < 103
27 = 128 ≥ 103
答案
b = 7
3.命题逻辑与证明
答案: (p ∧ r) ∨ (p ∧ q)
逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。
定律
∧ 对 ∨ 有分配律：a ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)。
p ∧ (r ∨ q) ≡ (p ∧ r) ∨ (p ∧ q)
用真值表检验
p = 1, q = 1, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 1, r = 0: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 1
p = 1, q = 0, r = 0: 0 | 0 1 1 0
p = 0, q = 1, r = 1: 0 | 1 1 1 0
p = 0, q = 1, r = 0: 0 | 1 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 1: 0 | 0 0 0 0
p = 0, q = 0, r = 0: 0 | 0 0 0 0
答案
(p ∧ r) ∨ (p ∧ q)
竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。
4.命题逻辑与证明
答案: ¬q
量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。
所有前提都为真的行
p = 1, q = 0, r = 0: q ∧ ¬r = 0, r = 0, ¬q = 1, q = 0
结论
¬q (带合取的否定后件式)
答案
¬q
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: L = 7
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
圈 1
每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。
B′C′
AC′
A′BC
最简 SOP 形式
F = B′C′ + AC′ + A′BC
L = 7
答案
L = 7
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器
答案: N = 4
卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。
质蕴涵项
由 1 和 X 能够构成的最大的圈。
BCD, ACD, ABD, A′B′C′, A′BC, AB′C, ABC′
最小覆盖
F = ACD + A′B′C′ + A′BC + ABC′
N = 4
答案
N = 4
7.数论与模运算
答案: φ(484) = 220
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
素因数
484 = 22·112
欧拉函数值
φ(484) = φ(4)·φ(121) = 2·110 = 220
答案
φ(484) = 220
8.数论与模运算
答案: x = 15
逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。
除以最大公约数
gcd(22, 34) = 2
11x ≡ 12 (mod 17)
解化简后的同余式
11−1 ≡ 14 (mod 17) → x ≡ 15 (mod 17)
模 34 下的解
x ∈ {15, 32}
x = 15
答案
x = 15
9.算法与复杂度
答案: C · O(n²)
为什么是这个答案
工作量之和约为 n² / 2，这是选择排序的递推式，也是基准最差时快速排序的递推式。
答案
C · O(n²)
10.算法与复杂度
答案: B · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
为什么是这个答案
在哈希函数和负载因子（load factor）良好的情况下，桶的平均长度很短；恶意构造的输入或较差的哈希可能把所有键放进同一个桶。
答案
B · 许多键可能冲突（collision）到同一个桶中
11.数据结构
答案: B · 14
为什么是这个答案
压入 3 和 4，+ 得到 7；压入 2，* 得到 7 × 2 = 14。
答案
B · 14
12.数据结构
答案: C · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
为什么是这个答案
第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。
答案
C · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
13.图论
答案: 有欧拉通路，无回路
欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。
度
deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 1
奇度顶点
B, E → 2
有欧拉通路，无回路
答案
有欧拉通路，无回路
欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。
14.图论
答案: d(D) = 22
最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。
迪杰斯特拉算法逐轮过程
每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。
A (0): B: 5, C: 5
B (5)
C (5): E: 14, G: 20
E (14): D: 22
G (20)
D (22): F: 34
F (34)
最短路径
A → C → E → D
d(D) = 22
答案
d(D) = 22
15.数据库与 SQL
答案: B · 一个行为类似虚拟表的已存储查询
为什么是这个答案
视图存储一条 SELECT 语句；查询视图时会执行其底层查询（物化视图则存储结果）。
答案
B · 一个行为类似虚拟表的已存储查询
16.数据库与 SQL
答案: D · 两个表的所有行，能匹配的进行配对，否则以 NULL 填充
为什么是这个答案
全外连接保留两个表的每一行，对匹配的行进行配对，并用 NULL 填充缺失的一侧。
答案
D · 两个表的所有行，能匹配的进行配对，否则以 NULL 填充
17.计算机网络
答案: D · 低延迟比重传每个丢失的数据包更重要
为什么是这个答案
重传丢失的数据包会增加延迟；实时媒体可以容忍一定的丢包，因此使用 RTP 等基于 UDP 的协议。
答案
D · 低延迟比重传每个丢失的数据包更重要
18.计算机网络
答案: D · 名称解析（DNS）
为什么是这个答案
成功 ping 通外部 IP 证明布线、编址和路由都正常。名称解析失败则指向 DNS 服务器或解析器设置的问题。
答案
D · 名称解析（DNS）
19.IPv4 子网划分
答案: H = 14
IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).
前缀长度
255.255.255.240 = /28
可用主机数
24 − 2 = 14
答案
H = 14
20.IPv4 子网划分
答案: x = 144
IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。
块大小
24 = 16
该主机所在子网
网络: ⌊159/16⌋·16 = 144
广播: 144 + 16 − 1 = 159
可用主机: 145 … 158
答案
x = 144
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