计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −115 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −1158 bit

U =

2.数制困难

10 位能容纳的最大无符号整数 N 是多少？

10 bit

N =

3.命题逻辑与证明中等

在其真值表的 8 行中，¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) 在多少行为真？把这个数记作 N。

¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q)

N =

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x ∃y R(x, y) 等价？点选它。

¬∀x ∃y R(x, y)

1∃y ∀x ¬R(x, y)
2∀x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∃y ¬R(x, y)
4∃x ∀y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 13) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 3, 6, 7, 13)

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

3 位二进制加法计数器从 3（十进制，Q = 011）开始。经过 22 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q₀ = 322n = 3

Q =

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 1 (mod 5) 和 x ≡ 0 (mod 6) 的最小正整数 x。

x ≡ 1 (mod 5)x ≡ 0 (mod 6)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 7，q = 41，e = 19。解密密文 c = 89：求消息 m。

p = 7q = 41e = 19c = 89

m =

9.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

A最小生成树
B所有图的拓扑序
C含负权重边的图中的最短路径
D从起始节点出发、按边数计的最短路径

10.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

A因为 n 总是很小
B因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
C因为它只适用于 W = 0
DW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的

11.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

A自动补全等前缀查找
B求最短路径
C对数字排序
D存储矩阵

12.数据结构困难

在循环缓冲区中，front == rear 既可能表示空，也可能表示满。区分它们的一种常见方法是什么？

A每当 front 等于 rear 时就始终清空缓冲区，使其状态为空
B使缓冲区大小为 2 的幂
C另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
D把 front 和 rear 存储在同一个变量中

13.图论中等

完全图 K₇ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₇

H =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 3 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 3

15.数据库与 SQL中等

employees 表有一列 manager_id，引用另一名员工。如何在每名员工旁边列出其经理的姓名？

A使用 UNION ALL 和 WHERE 过滤把该表与自身合并
B只使用 GROUP BY manager_id
C在磁盘上创建该表的第二个副本
D用两个别名把 employees 表与它自身连接

16.数据库与 SQL困难

x 为 NULL，y = 1。条件 (x > 5 OR y = 1) 的值是什么？

ATRUE
BFALSE
CUNKNOWN
DNULL，因此该行总是被拒绝

17.计算机网络中等

“ping”命令使用哪种协议？

AUDP
BICMP
CTCP
DHTTP

18.计算机网络困难

基于 TCP 的 HTTP/2 出现队头阻塞（head-of-line blocking）的原因是：

A每个请求都需要自己新的 TCP 连接，因此后面的请求要排队等待
B服务器无法处理并行请求
C一个丢失的 TCP 报文段会使所有多路复用的流延迟，直到该报文段被重传
DHTTP/2 使用 UDP

19.IPv4 子网划分中等

网络 172.26.0.0/16 被划分为前缀为 /18 的等大子网。共有多少个子网 N？

172.26.0.0/16/18

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.195.88/29。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.195.88/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 141

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

115 = 0111 0011

取反后: 1000 1100

+1 → 1000 1101

按无符号数读取

1000 1101₂ = 256 − 115 = 141

答案

U = 141

2.数制

答案: N = 1023

最大值

2¹⁰ − 1 = 1023

答案

N = 1023

3.命题逻辑与证明

答案: N = 3

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: p → r = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, (p → r) ∧ (¬r → q) = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 0, ¬q = 0, p ∨ ¬q = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 0

p = 1, q = 1, r = 0: p → r = 0, ¬r = 1, ¬r → q = 1, (p → r) ∧ (¬r → q) = 0, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 1, ¬q = 0, p ∨ ¬q = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 1

p = 1, q = 0, r = 1: p → r = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, (p → r) ∧ (¬r → q) = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 0, ¬q = 1, p ∨ ¬q = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 0

p = 1, q = 0, r = 0: p → r = 0, ¬r = 1, ¬r → q = 0, (p → r) ∧ (¬r → q) = 0, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 1, ¬q = 1, p ∨ ¬q = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 1

p = 0, q = 1, r = 1: p → r = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, (p → r) ∧ (¬r → q) = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 0, ¬q = 0, p ∨ ¬q = 0, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 0

p = 0, q = 1, r = 0: p → r = 1, ¬r = 1, ¬r → q = 1, (p → r) ∧ (¬r → q) = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 0, ¬q = 0, p ∨ ¬q = 0, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 0

p = 0, q = 0, r = 1: p → r = 1, ¬r = 0, ¬r → q = 1, (p → r) ∧ (¬r → q) = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 0, ¬q = 1, p ∨ ¬q = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 0

p = 0, q = 0, r = 0: p → r = 1, ¬r = 1, ¬r → q = 0, (p → r) ∧ (¬r → q) = 0, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) = 1, ¬q = 1, p ∨ ¬q = 1, ¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q) = 1

数出值为 1 的行数

¬((p → r) ∧ (¬r → q)) ∧ (p ∨ ¬q): 0, 1, 0, 1, 0, 0, 0, 1

N = 3

答案

N = 3

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x ∀y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x ∃y R(x, y) ≡ ∃x ∀y ¬R(x, y)

答案

∃x ∀y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(C + D)

(B + D)

(A′ + C′)

(A′ + B)

(A + B′ + C)

最简 POS 形式

F = (C + D)(B + D)(A′ + C′)(A′ + B)(A + B′ + C)

N = 5

答案

N = 5

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 1

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 8 个脉冲使计数器回到相同的状态。

22 = 2·8 + 6

剩余脉冲之后的计数

Q = (3 + 6) mod 8 = 1

Q = 001₂

答案

Q = 1

7.数论与模运算

答案: x = 6

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 1 + 5k

第二个同余式

1 + 5k ≡ 0 (mod 6) → 5k ≡ 5 (mod 6)

k ≡ 5·5 ≡ 1 (mod 6)

结果

x = 1 + 5·1 = 6

x = 6

校核: 6 mod 5 = 1, 6 mod 6 = 0

答案

x = 6

8.数论与模运算

答案: m = 117

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 287, φ(n) = 240

d = 19⁻¹ mod 240 = 139

用反复平方法解密

139 = 128 + 8 + 2 + 1

89¹ ≡ 89 (mod 287)

89² ≡ 172 (mod 287)

89⁴ ≡ 23 (mod 287)

89⁸ ≡ 242 (mod 287)

89¹⁶ ≡ 16 (mod 287)

89³² ≡ 256 (mod 287)

89⁶⁴ ≡ 100 (mod 287)

89¹²⁸ ≡ 242 (mod 287)

89¹³⁹ ≡ 89·172·242·242 ≡ 117 (mod 287)

消息

m = 117

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360

14.图论

答案: B

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 9, C: 6

2. C (6): E: 10

3. B (9): G: 23

4. E (10): D: 23, F: 11, G: 15

5. F (11): D: 16

6. G (15)

TCP 按顺序交付字节，因此一次丢包会使该连接上的所有流停滞。QUIC（HTTP/3）基于 UDP 独立处理各个流。

答案

C · 一个丢失的 TCP 报文段会使所有多路复用的流延迟，直到该报文段被重传

19.IPv4 子网划分

答案: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

18 − 16 = 2

子网数

N = 2² = 4

答案

N = 4

每个 /18 子网有 2¹⁴ − 2 = 16382 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 88

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊88/8⌋·8 = 88

广播: 88 + 8 − 1 = 95

可用主机: 89 … 94

答案

x = 88

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