计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

8 位模式 0101 0111 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

0101 01118 bit

N =

2.数制困难

把各位设置为 1101 0110 << 2 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 0110<< 2

R =

3.命题逻辑与证明中等

你想用反证法来证明 ¬r → ¬q。一开始要假设哪个命题？点选它。

¬r → ¬q

1¬r ∧ ¬¬q
2¬¬r ∧ ¬q
3¬¬r ∧ ¬¬q
4¬¬r → ¬¬q

4.命题逻辑与证明困难

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∃x ∀y R(x, y) 等价？点选它。

¬∃x ∀y R(x, y)

1∀x ∀y ¬R(x, y)
2∃x ∀y ¬R(x, y)
3∀x ∃y ¬R(x, y)
4∃x ∃y ¬R(x, y)

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 7, 13) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(0, 1, 2, 7, 13)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个 8 位行波（异步）计数器由传播延迟均为 5 ns 的触发器构成。所有输出必须在下一个时钟边沿之前稳定下来。求最高时钟频率 f_max。

n = 8t_pd = 5 ns

f_max = MHz

7.数论与模运算中等

解 34x ≡ 50 (mod 61)。给出满足 0 < x < 61 的解 x。

34x ≡ 50 (mod 61)

x =

8.数论与模运算困难

13 是素数。用费马小定理求 5¹⁵⁸⁵¹ mod 13。

p = 13k = 15851

5¹⁵⁸⁵¹ mod 13 =

9.算法与复杂度中等

在活动选择问题中，哪条贪心规则总能得到数量最多的互不重叠的活动？

A先选择最短的活动
B选择最早结束的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步
C选择最早开始的活动
D先选择与其他活动重叠最少的活动，然后在与之相容的活动中重复这一步

10.算法与复杂度困难

Held–Karp 动态规划算法能精确求解旅行商问题。对 n 个城市，它的运行时间是多少？

AO(n³)
BO(n!)
CO(n² 2ⁿ)
DO(2^n²)

11.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

A拉链法（Separate chaining）
B线性探测（Linear probing）
C二次探测（Quadratic probing）
D双重哈希（Double hashing）

12.数据结构困难

建立在 n 个数的数组上的树状数组（Fenwick tree，binary indexed tree）以 O(log n) 支持哪些操作？

A前缀和查询和单个元素更新
B以 O(1) 求中位数
C在任意位置插入元素
D对数组排序和二分查找

13.图论中等

完全图 K₈ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₈

H =

14.图论困难

长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2

N =

15.数据库与 SQL中等

对于电话号码为 NULL 的客户，SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers 返回什么？

ANULL
B空字符串
C报错
D'unknown'

16.数据库与 SQL困难

相关子查询（correlated subquery）是指：

A只使用聚合函数的子查询
B通过外键连接两个表的子查询
C只在外层查询之前运行一次，并将结果缓存供每一行使用
D引用外层查询的列，并针对外层的每一行进行求值的子查询

17.计算机网络中等

为什么 Wi-Fi 使用冲突避免（CSMA/CA）而不是冲突检测？

A冲突检测只在光纤线缆上起作用，在共享的无线信道上不起作用
B无线电信号从不发生冲突
C无线站点在发送时无法可靠地检测到冲突
DWi-Fi 每个网络只允许一台设备

18.计算机网络困难

你必须把 192.168.1.0/24 划分成至少 5 个子网，每个子网最多 25 台主机。哪个前缀长度最合适？

A/28
B/26
C/25
D/27

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.128。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.128

H =

20.IPv4 子网划分困难

网络 192.168.248.0/24 用 VLSM 划分给以下局域网：A: 5 主机, B: 24 主机, C: 11 主机, D: 28 主机, E: 40 主机。子网从 .0 开始向上分配，主机最多的局域网先分配，每个局域网分配能容纳它的最小子网。局域网 D 的网络地址第四个八位组 x 是多少？

A: 5B: 24C: 11D: 28E: 40

x =

3溶液

1.数制

答案: N = 87

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

64 + 16 + 4 + 2 + 1 = 87

答案

N = 87

2.数制

答案: R = 88

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

左移 2 位，把每一位向左移动 2 个位置；从左端移出的位丢失，右侧补入 0。

1101 0110 << 2

= 0101 1000

结果的值

0101 1000₂ = 88

答案

R = 88

3.命题逻辑与证明

答案: ¬r ∧ ¬¬q

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = ¬r, b = ¬q

蕴涵的否定

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = ¬r ∧ ¬¬q

答案

¬r ∧ ¬¬q

如果假设导致矛盾，则该蕴涵必为真。

4.命题逻辑与证明

答案: ∀x ∃y ¬R(x, y)

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∃x ∀y R(x, y) ≡ ∀x ∃y ¬R(x, y)

答案

∀x ∃y ¬R(x, y)

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 14

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′B′D′

A′B′C′

A′BCD

ABC′D

最简 SOP 形式

F = A′B′D′ + A′B′C′ + A′BCD + ABC′D

L = 14

答案

L = 14

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: f_max = 25 MHz

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

最坏情况的稳定时间

T = 8·5 ns = 40 ns

最高频率

f_max = 1/40 ns = 25 MHz

答案

f_max = 25 MHz

7.数论与模运算

答案: x = 23

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

34 的逆元

r = 61, t = 0

r = 34, q = 1, t = 1

r = 27, q = 1, t = −1

r = 7, q = 3, t = 2

r = 6, q = 1, t = −7

r = 1, q = 6, t = 9

34⁻¹ ≡ 9 (mod 61)

求解

x ≡ 9·50 = 450 ≡ 23 (mod 61)

校核: 34·23 = 782 ≡ 50 (mod 61)

答案

x = 23

8.数论与模运算

答案: 5¹⁵⁸⁵¹ mod 13 = 8

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

A · 前缀和查询和单个元素更新

13.图论

答案: H = 2520

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520

14.图论

答案: N = 3

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0

B: 1 0 1 1 0 0

C: 1 1 0 0 1 0

D · /27

19.IPv4 子网划分

答案: H = 126

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.255.128 = /25

可用主机数

2⁷ − 2 = 126

答案

H = 126

20.IPv4 子网划分

答案: x = 64

VLSM：每个局域网分配满足 2ʰ − 2 ≥ 其主机数的最小子网，即前缀 32 − h。先分配最大的子网，可使每个块都对齐在其自身大小的倍数上，因此网络地址就是各块大小依次相加的结果。

每个局域网的块大小

E: 40 主机 → 2⁶ = 64 (/26)

D: 28 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

B: 24 主机 → 2⁵ = 32 (/27)

C: 11 主机 → 2⁴ = 16 (/28)

A: 5 主机 → 2³ = 8 (/29)

分配顺序，从大到小

E: .0 – .63

D: .64 – .95

B: .96 – .127

C: .128 – .143

A: .144 – .151

答案

x = 64

局域网 D：192.168.248.64/27。

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