计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
补码中的位权1−12816403201618140211

8 位模式 1100 1101 以补码形式存储一个有符号整数。它的十进制值 N 是多少？

1100 11018 bit
N =
2.数制困难
8 bit1 px640 px480 pxM = ? KiB

一幅未压缩图像为 640 × 480 像素，每像素 8 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

640 × 480 px8 bit/px1 KiB = 1024 B
M = KiB
3.命题逻辑与证明中等
(c → a) ∧ (a → c)(c → a) ∨ (a → c)c ∧ a(c → a) ∧ (¬a → ¬c)

哪个公式与 c ↔ a 在逻辑上等价？点选它。

c ↔ a
  1. 1(c → a) ∧ (a → c)
  2. 2(c → a) ∨ (a → c)
  3. 3c ∧ a
  4. 4(c → a) ∧ (¬a → ¬c)
4.命题逻辑与证明困难
∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))
  1. 1∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  2. 2∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
  3. 3∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  4. 4∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABCD000111100001111000110302041517161121130151140809011110

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 14) 的最简和之积 (POS) 形式。它有多少个和项（因子）N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 5, 6, 7, 10, 12, 13, 14)
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
DQ0​Q0​DQ1​Q1​DQ2​Q2​DQ3​Q3​DQ4​Q4​DQ5​Q5​CLKJOHNSON

一个约翰逊（扭环）计数器由 6 个 D 触发器构成，最后一个输出取反后反馈到第一个输入，并从全 0 开始。它经历多少种不同的状态 N？

n = 6
N =
7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(57)，即 1 到 57 中与 57 互素的整数个数。

n = 57 = 3·19
φ(57) =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod n59m = cd​ mod n?(n, e) = (85, 23)d

某个 RSA 密钥使用 p = 5，q = 17，e = 23。解密密文 c = 59：求消息 m。

p = 5q = 17e = 23c = 59
m =
9.算法与复杂度中等

对 n 个元素的数组进行归并排序，递归共有多少层？

  1. A约 n 层
  2. B约 √n 层
  3. C约 log₂ n 层
  4. D约 n / 2 层
10.算法与复杂度困难

关于类 NP 的哪个定义是正确的？

  1. A不能在多项式时间内求解的问题
  2. B任何算法都无法求解的问题
  3. C非多项式的问题
  4. D给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
11.数据结构中等

二叉搜索树中的某个节点有右子树。它的中序后继在哪里？

  1. A总是它的父节点
  2. B其右子树中最左边的节点
  3. C总是它的右子节点
  4. D其左子树中最右边的节点
12.数据结构困难

你必须用 O(k) 的内存从 n 个数的数据流中保留最小的 k 个值。哪种方法能在 O(n log k) 时间内完成？

  1. A一个保存最后 k 个值的 FIFO 队列
  2. B一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
  3. C一个包含全部 n 个值的有序数组
  4. D一个保存全部 n 个值的最小堆，最后从中弹出 k 个最小值
13.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 19 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 19
k =
14.图论困难
41414188441011ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等

为什么 SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 在大多数数据库中会失败？

  1. AWHERE 只能比较文本列
  2. BSELECT 列表中不允许进行算术运算
  3. CWHERE 在 SELECT 列表之前计算，此时别名还不存在
  4. D别名中不能包含下划线
16.数据库与 SQL困难

如果 col 中所有值都是 NULL 且表有 10 行，SELECT COUNT(col) FROM t 的结果是什么？

  1. A报错
  2. B0
  3. CNULL
  4. D10
17.计算机网络中等

主机 192.168.10.77/26 的网络地址是什么？

  1. A192.168.10.76
  2. B192.168.10.64
  3. C192.168.10.128
  4. D192.168.10.0
18.计算机网络困难

一台防火墙阻止了所有 ICMP。小的 Web 请求正常，但经过某些路径的大文件下载会卡住。可能的原因是什么？

  1. A没有 ICMP，TCP 无法建立连接
  2. BTLS 证书通过 ICMP 发送
  3. C由于"需要分片"消息被阻止，路径 MTU 发现失败
  4. DDNS 需要 ICMP 才能解析名称
19.IPv4 子网划分中等
/20 → /2311111111111111111111111000000000网络位主机位

网络 10.114.64.0/20 被划分为前缀为 /23 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.114.64.0/20/23
N =
20.IPv4 子网划分困难
第三个八位组 = 128112806403201608040201网络主机

一台主机的地址为 172.20.128.202/18。其网络地址的第三个八位组 x 是多少？

172.20.128.202/18
x =

3溶液

1.数制

答案: N = −51

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位权相加

其余各位保持正常的正权值。

−128 + 64 + 8 + 4 + 1 = −51

答案

N = −51
2.数制

答案: M = 300 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

640·480·8 = 2457600 bit = 307200 B

换算为 KiB

307200/1024 = 300 KiB

答案

M = 300 KiB
3.命题逻辑与证明

答案: (c → a) ∧ (a → c)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

a ↔ b 表示蕴涵在两个方向上都成立：(a → b) ∧ (b → a)。
c ↔ a ≡ (c → a) ∧ (a → c)

用真值表检验

a = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1
a = 1, c = 0: 0 | 0 1 0 1
a = 0, c = 1: 0 | 0 1 0 0
a = 0, c = 0: 1 | 1 1 0 1

答案

(c → a) ∧ (a → c)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答案

∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

ABCD000111100001111000110302041517161121130151140809011110

圈 0

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

(A + C + D)
(A′ + C′ + D′)
(A + B + C′)
(A′ + B + C)

最简 POS 形式

F = (A + C + D)(A′ + C′ + D′)(A + B + C′)(A′ + B + C)
N = 4

答案

N = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 12

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

6 个触发器的序列

000000 → 100000 → 110000 → 111000 → 111100 → 111110 → 111111 → 011111 → 001111 → 000111 → 000011 → 000001

状态数

N = 12

答案

N = 12
7.数论与模运算

答案: φ(57) = 36

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

57 = 3·19

欧拉函数值

φ(57) = φ(3)·φ(19) = 2·18 = 36

答案

φ(57) = 36
8.数论与模运算

答案: m = 49

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 85, φ(n) = 64
d = 23−1 mod 64 = 39

用反复平方法解密

39 = 32 + 4 + 2 + 1
591 ≡ 59 (mod 85)
592 ≡ 81 (mod 85)
594 ≡ 16 (mod 85)
598 ≡ 1 (mod 85)
5916 ≡ 1 (mod 85)
5932 ≡ 1 (mod 85)
5939 ≡ 59·81·16·1 ≡ 49 (mod 85)

消息

m = 49
校核: 4923 mod 85 = 59

答案

m = 49
9.算法与复杂度

答案: C · 约 log₂ n 层

为什么是这个答案

从 n 减半到 1 大约需要 log₂ n 层，每层做 O(n) 的合并工作，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

C · 约 log₂ n 层
10.算法与复杂度

答案: D · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题

为什么是这个答案

对于 NP 问题，一个候选解（证书）可以被快速检验，例如验证给定的赋值是否满足一个布尔公式。

答案

D · 给定证书时，其"是"答案能在多项式时间内验证的判定问题
11.数据结构

答案: B · 其右子树中最左边的节点

为什么是这个答案

所有比该节点大且与之相近的键都在它的右子树中，其中最小的就是那里最左边的节点。

答案

B · 其右子树中最左边的节点
12.数据结构

答案: B · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根

为什么是这个答案

最大堆的根是所保留值中最大的；任何更小的新值都以 O(log k) 替换它，因此堆中始终保存着迄今为止最小的 k 个值。

答案

B · 一个大小为 k 的最大堆，当出现更小的值时替换其根
13.图论

答案: k = 9

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 19 − 10 = 9

答案

k = 9
14.图论

答案: d(F) = 27

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 4, C: 14
B (4): D: 5, G: 8
D (5)
G (8): C: 12, E: 19
C (12)
E (19): F: 27
F (27)

最短路径

A → B → G → E → F
d(F) = 27

答案

d(F) = 27
15.数据库与 SQL

答案: C · WHERE 在 SELECT 列表之前计算，此时别名还不存在

为什么是这个答案

在逻辑上 FROM 和 WHERE 先于 SELECT 执行，因此要在 WHERE 中重复该表达式或使用子查询；ORDER BY 可以使用别名，因为它在 SELECT 之后执行。

答案

C · WHERE 在 SELECT 列表之前计算，此时别名还不存在
16.数据库与 SQL

答案: B · 0

为什么是这个答案

COUNT(col) 统计非 NULL 值，因此返回 0；COUNT(*) 则会返回 10。

答案

B · 0
17.计算机网络

答案: B · 192.168.10.64

为什么是这个答案

/26 子网从 0、64、128 和 192 开始。77 位于 64–127 这一块，所以网络地址是 192.168.10.64。

答案

B · 192.168.10.64
18.计算机网络

答案: C · 由于"需要分片"消息被阻止，路径 MTU 发现失败

为什么是这个答案

PMTUD 依靠 ICMP 消息来得知较小的 MTU。如果这些消息被丢弃，大数据包就会悄无声息地消失，形成"黑洞"连接。

答案

C · 由于"需要分片"消息被阻止，路径 MTU 发现失败
19.IPv4 子网划分

答案: N = 8

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

23 − 20 = 3

子网数

N = 23 = 8

答案

N = 8

每个 /23 子网有 29 − 2 = 510 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

第三个八位组中的块大小

26 = 64

该主机所在子网

网络: 172.20.128.0
广播: 172.20.191.255

答案

x = 128

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