计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −90 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −908 bit

U =

2.数制困难

某系统要为 628 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

628

b = bit

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(p ∧ r) 在逻辑上等价？点选它。

¬(p ∧ r)

1¬p ∧ r
2¬p ∨ r
3¬p ∨ ¬r
4¬p ∧ ¬r

4.命题逻辑与证明困难

前提为 b ∨ a; b、结论为 ¬a 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。

b ∨ ab∴ ¬a

1a = 1, b = 1
2a = 1, b = 0
3a = 0, b = 1
4a = 0, b = 0

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(3, 8, 11, 12, 13, 14) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(3, 8, 11, 12, 13, 14)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 D 触发器从 Q = 0 开始，在 8 个时钟上升沿接收到所示的输入。Q 改变状态的次数 N 是多少？

Q₀ = 0D

N =

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 5 (mod 6) 和 x ≡ 8 (mod 13) 的最小正整数 x。

x ≡ 5 (mod 6)x ≡ 8 (mod 13)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用素数 p = 19 和 q = 23，公钥指数 e = 7。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 19q = 23e = 7

d =

9.算法与复杂度中等

在包含 1,000,000 个元素的有序数组上，二分查找在最坏情况下大约需要多少次比较？

A约 500,000 次
B约 20 次
C约 1,000 次
D约 100 次

10.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

A优先队列中不能存储负数
B它只适用于无向图
C每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
D顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

11.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

Ai + 1 和 i + 2
Bi/2 和 i/2 + 1
C2i + 1 和 2i + 2
D2i 和 2i + 1

12.数据结构困难

双重哈希主要减轻了线性探测的哪个问题？

A需要在表中存储键
B一次聚集，即形成长串的被占用槽位
C读取键值需要 O(n) 的代价
D需要哈希函数

13.图论中等

一个连通图有 18 个顶点和 22 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 18|E| = 22

k =

14.图论困难

迪杰斯特拉算法从 A 开始运行。点选在第 5 轮被确定（成为永久标号）的顶点；A 本身是第 1 轮。

起点：A轮 5

15.数据库与 SQL中等

为什么 SELECT price * 2 AS double_price FROM t WHERE double_price > 10 在大多数数据库中会失败？

AWHERE 只能比较文本列
B别名中不能包含下划线
CSELECT 列表中不允许进行算术运算
DWHERE 在 SELECT 列表之前计算，此时别名还不存在

16.数据库与 SQL困难

在 (last_name, first_name) 上有一个复合索引。哪个条件能最有效地利用它？

AWHERE last_name = 'Jansen'
BWHERE first_name LIKE '%a'
CWHERE first_name = 'Eva'
DWHERE UPPER(first_name) = 'EVA'

17.计算机网络中等

主机上的默认网关有什么作用？

A它是用于发往其他网络的流量的路由器
B它是主机所连接的交换机端口
C它负责分配 MAC 地址
D它是 DNS 服务器

18.计算机网络困难

一条路径的带宽为 100 Mbit/s，往返时间为 40 ms。要使其被充分利用，在途数据量必须有多少？

A50 kB
B2.5 MB
C4 kB
D500 kB

19.IPv4 子网划分中等

网络 10.241.34.0/24 被划分为前缀为 /26 的等大子网。共有多少个子网 N？

10.241.34.0/24/26

N =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.90.193/29。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.90.193/29

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 166

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

90 = 0101 1010

取反后: 1010 0101

+1 → 1010 0110

按无符号数读取

1010 0110₂ = 256 − 90 = 166

答案

U = 166

2.数制

答案: b = 10 bit

2 的幂

2⁹ = 512 < 628

2¹⁰ = 1024 ≥ 628

答案

b = 10

3.命题逻辑与证明

答案: ¬p ∨ ¬r

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。

¬(p ∧ r) ≡ ¬p ∨ ¬r

用真值表检验

p = 1, r = 1: 0 | 0 1 0 0

p = 1, r = 0: 1 | 0 0 1 0

p = 0, r = 1: 1 | 1 1 1 0

p = 0, r = 0: 1 | 0 1 1 1

答案

¬p ∨ ¬r

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: a = 1, b = 1

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

逐行列出前提与结论

a = 1, b = 1: 1 1 | 0

a = 1, b = 0: 1 0 | 0

a = 0, b = 1: 1 1 | 1

a = 0, b = 0: 0 0 | 1

反例

a = 1, b = 1

答案

a = 1, b = 1

这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 12

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

B′CD

AC′D′

ABD′

ABC′

最简 SOP 形式

F = B′CD + AC′D′ + ABD′ + ABC′

L = 12

答案

L = 12

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

D 触发器在每个上升沿复制 D：Q⁺ = D。

1: D = 0 → Q = 0

2: D = 0 → Q = 0

3: D = 1 → Q = 1

4: D = 1 → Q = 1

5: D = 0 → Q = 0

6: D = 1 → Q = 1

7: D = 0 → Q = 0

8: D = 0 → Q = 0

数出变化的次数

0 → 0 → 0 → 1 → 1 → 0 → 1 → 0 → 0

N = 4

答案

N = 4

7.数论与模运算

答案: x = 47

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 5 + 6k

第二个同余式

5 + 6k ≡ 8 (mod 13) → 6k ≡ 3 (mod 13)

k ≡ 11·3 ≡ 7 (mod 13)

结果

x = 5 + 6·7 = 47

x = 47

校核: 47 mod 6 = 5, 47 mod 13 = 8

答案

x = 47

8.数论与模运算

答案: d = 283

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 19·23 = 437

φ(n) = 18·22 = 396

扩展欧几里得算法

r = 396, t = 0

r = 7, q = 56, t = 1

r = 4, q = 1, t = −56

r = 3, q = 1, t = 57

r = 1, q = 3, t = −113

私钥指数

d = 283

生成树的边数

18 − 1 = 17

要去掉的边数

k = 22 − 17 = 5

答案

k = 5

14.图论

答案: E

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

1. A (0): B: 14, C: 2

2. C (2): E: 10, G: 3

3. G (3): B: 5, D: 14

4. B (5)

5. E (10): F: 13

6. F (13)

带宽时延积为 100 × 10⁶ bit/s × 0.04 s = 4 × 10⁶ 比特 = 500 kB。发送方的窗口必须至少这么大。

答案

D · 500 kB

19.IPv4 子网划分

答案: N = 4

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

26 − 24 = 2

子网数

N = 2² = 4

答案

N = 4

每个 /26 子网有 2⁶ − 2 = 62 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: x = 199

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2³ = 8

该主机所在子网

网络: ⌊193/8⌋·8 = 192

广播: 192 + 8 − 1 = 199

可用主机: 193 … 198

答案

x = 199

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