计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

把 −20 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −208 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 1011 1111 >> 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1011 1111>> 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 ¬(r ∧ p) 在逻辑上等价？点选它。

¬(r ∧ p)

1¬r ∧ ¬p
2¬r ∨ ¬p
3¬r ∨ p
4¬r ∧ p

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ((s ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q)) ∨ (¬r ∨ p) 为真？把这个数记作 N。

((s ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q)) ∨ (¬r ∨ p)

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

在这个卡诺图中，恰有一个 1 没有相邻的 1，所以它在最简 SOP 形式中仍是单个格子的圈（含四个文字的完整最小项）。跨越卡诺图边界的相邻关系也要计入。点选该格子。

F = Σm(0, 4, 5, 10, 13, 15)

1AB = 00, CD = 00
2AB = 00, CD = 01
3AB = 00, CD = 11
4AB = 00, CD = 10
5AB = 01, CD = 00
6AB = 01, CD = 01
7AB = 01, CD = 11
8AB = 01, CD = 10
9AB = 11, CD = 00
10AB = 11, CD = 01
11AB = 11, CD = 11
12AB = 11, CD = 10
13AB = 10, CD = 00
14AB = 10, CD = 01
15AB = 10, CD = 11
16AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

同步十进制（模 10）计数器依次计 0, 1, …, 9，然后回到 0。它从 2 开始。经过 25 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q₀ = 225N = 10

Q =

7.数论与模运算中等

求 13 模 29 的逆元：满足 0 < x < 29 且 13·x ≡ 1 (mod 29) 的数 x。

a = 13n = 29

13⁻¹ mod 29 =

8.数论与模运算困难

解 21x ≡ 6 (mod 45)。给出最小的正解 x。

21x ≡ 6 (mod 45)

x =

9.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

A正确，但仅当 n 小于 100 时
B不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
C不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
D正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

10.算法与复杂度困难

关于 P 和 NP，下列哪个说法是正确的？

ANP 表示“not polynomial”（非多项式）
BNP 问题无法被快速验证
CP 中的每个问题也都属于 NP
D已经证明 P ≠ NP

11.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。后序遍历的结果是什么？

A4 5 2 3 1
B5 4 3 2 1
C4 2 5 1 3
D1 2 4 5 3

12.数据结构困难

关于堆排序，下列哪个说法是正确的？

A它需要一棵二叉搜索树作为额外存储，因此使用 O(n) 的额外内存
B它是稳定的，并且需要 O(n) 的额外内存
C它在任何输入上都以 O(n) 时间运行
D它在最坏情况下以 O(n log n) 时间原地排序，但不稳定

13.图论中等

完全图 K₆ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₆

H =

14.图论困难

从 E 到 C 的长度为 2 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2

N =

15.数据库与 SQL中等

orders 表有 5 行，每行都引用一个已存在的客户。customers 表有 3 行。在 customer_id 上做 INNER JOIN 返回多少行？

16.数据库与 SQL困难

两个事务都读到 stock = 10，各自减 1 后写回结果，最终得到 9 而不是 8。这是哪种异常？

A删除异常
B幻读
C脏读
D丢失更新

17.计算机网络中等

哪个子网掩码对应 /20？

A255.255.224.0
B255.255.248.0
C255.255.255.240
D255.255.240.0

18.计算机网络困难

为什么要引入 TCP 窗口扩大选项？

A32 位的窗口字段太大，浪费了每个已发送 TCP 报文段中的首部空间
B没有它，TCP 就无法检测长距离链路上丢失的段
C16 位的窗口字段把窗口限制在 65,535 字节，对于高速长距离路径来说太小
DUDP 需要一种在拥塞路径上控制发送速率的方法

19.IPv4 子网划分中等

某部门在一个子网内需要 1672 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

1672 hosts

p =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.129.232/30。其子网中最后一个可用主机地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.129.232/30

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 236

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

20 = 0001 0100

取反后: 1110 1011

+1 → 1110 1100

按无符号数读取

1110 1100₂ = 256 − 20 = 236

答案

U = 236

2.数制

答案: R = 95

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

右移 1 位，把每一位向右移动 1 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1011 1111 >> 1

= 0101 1111

结果的值

0101 1111₂ = 95

答案

R = 95

3.命题逻辑与证明

答案: ¬r ∨ ¬p

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

德摩根律：¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b。∧ 变成 ∨，并且两个部分都取否定。

¬(r ∧ p) ≡ ¬r ∨ ¬p

用真值表检验

p = 1, r = 1: 0 | 0 0 1 0

p = 1, r = 0: 1 | 0 1 1 1

p = 0, r = 1: 1 | 0 1 0 0

p = 0, r = 0: 1 | 1 1 1 0

答案

¬r ∨ ¬p

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 15

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

¬q; s ∧ ¬q; r ∧ q; (s ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q); ¬r; ¬r ∨ p; ((s ∧ ¬q) ∨ (r ∧ q)) ∨ (¬r ∨ p)

按 p 拆分

p = 1: 8

p = 0: 7

N = 8 + 7 = 15

答案

N = 15

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: AB = 10, CD = 10

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

每个 1 的邻格

有相邻 1 的 1 可以加入由两个或更多格子组成的圈。

m10: m11, m8, m14, m2 → 0

孤立的 1

m10 = AB′CD′ → AB = 10, CD = 10

答案

AB = 10, CD = 10

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 7

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 10 个脉冲使计数器回到相同的状态。

25 = 2·10 + 5

剩余脉冲之后的计数

Q = (2 + 5) mod 10 = 7

Q = 0111₂

答案

Q = 7

7.数论与模运算

答案: 13⁻¹ mod 29 = 9

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·13 (mod 29)。

r = 29, t = 0

r = 13, q = 2, t = 1

r = 3, q = 4, t = −2

r = 1, q = 3, t = 9

逆矩阵

1 ≡ 9·13 (mod 29)

x = 9

校核: 13·9 = 117 = 4·29 + 1

答案

13⁻¹ mod 29 = 9

8.数论与模运算

答案: x = 11

除以最大公约数

gcd(21, 45) = 3

7x ≡ 2 (mod 15)

解化简后的同余式

7⁻¹ ≡ 13 (mod 15) → x ≡ 11 (mod 15)

模 45 下的解

x ∈ {11, 26, 41}

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60

14.图论

答案: N = 1

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0

B: 0 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 0 0

C · 16 位的窗口字段把窗口限制在 65,535 字节，对于高速长距离路径来说太小

19.IPv4 子网划分

答案: p = 21

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

2¹⁰ − 2 = 1022 < 1672

2¹¹ − 2 = 2046 ≥ 1672 → h = 11

前缀长度

p = 32 − 11 = 21

答案

p = /21

20.IPv4 子网划分

答案: x = 234

块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: ⌊232/4⌋·4 = 232

广播: 232 + 4 − 1 = 235

可用主机: 233 … 234

答案

x = 234

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