计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码?−128?64?32?16?8?4?2?1

把 −60 写成 8 位补码模式。再把该模式当作无符号二进制数读出：它的十进制值 U 是多少？

N = −608 bit
U =
2.数制困难
点击各位来设置012806403201608040201

把各位设置为 1101 1011 XOR 1110 1011 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1101 1011XOR1110 1011
R =
3.命题逻辑与证明中等
重言式矛盾式偶然式

q ∧ ¬q 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

q ∧ ¬q
  1. 1重言式
  2. 2矛盾式
  3. 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬(¬(s ∧ p) ∧ r) ∧ (¬s ∨ q) 为真？把这个数记作 N。

¬(¬(s ∧ p) ∧ r) ∧ (¬s ∨ q)
N =
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
MUX0I0​CI1​0I2​C′I3​ABS1​S0​F

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = C，I₂ = 0，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = CI₂ = 0I₃ = C′
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
TQ0​Q0​TQ1​Q1​TQ2​Q2​TQ3​Q3​CLKMOD-11

同步模 11 计数器依次计 0, 1, …, 10，然后回到 0。它从 10 开始。经过 13 个时钟脉冲后，它显示的计数 Q（十进制）是多少？

Q0 = 1013N = 11
Q =
7.数论与模运算中等

求欧拉函数 φ(19)，即 1 到 19 中与 19 互素的整数个数。

n = 19 = 19
φ(19) =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod ncm = cd​ mod nm(n, e) = (1927, 11)d = ?

某个 RSA 密钥使用素数 p = 41 和 q = 47，公钥指数 e = 11。求私钥指数 d（0 < d < φ(n)）。

p = 41q = 47e = 11
d =
9.算法与复杂度中等

基于比较的排序在最坏情况下的下界是：

  1. AΩ(n²)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n)
10.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

  1. A二分查找至少需要两倍的内存
  2. B由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
  3. C链表无法排序
  4. D链表节点上的比较更慢
11.数据结构中等

一棵二叉树的根为 1，左子节点为 2，右子节点为 3；节点 2 的子节点为 4（左）和 5（右）。前序遍历的结果是什么？

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C1 2 3 4 5
  4. D4 2 5 1 3
12.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

  1. A由窗口元素组成的单链表
  2. B一个按值递减顺序保存下标的双端队列
  3. C为每个窗口重建的最小堆
  4. D通过移动元素来更新的有序数组
13.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
14.图论困难
1118165610ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =
15.数据库与 SQL中等

关于 HAVING，下列哪项说法正确？

  1. A它不能与 GROUP BY 一起使用
  2. B它可以使用聚合函数来过滤分组
  3. C它在 SELECT 语句中必须写在 WHERE 之前
  4. D它用于对结果排序
16.数据库与 SQL困难

两个事务都读到 stock = 10，各自减 1 后写回结果，最终得到 9 而不是 8。这是哪种异常？

  1. A丢失更新
  2. B删除异常
  3. C脏读
  4. D幻读
17.计算机网络中等

一台路由器有到 10.0.0.0/8 和 10.1.0.0/16 的路由。对于发往 10.1.5.5 的数据包，它使用哪条路由？

  1. A10.0.0.0/8，因为它是先添加的
  2. B10.0.0.0/8，因为它比 /16 覆盖的地址更多
  3. C10.1.0.0/16，因为它是最长匹配前缀
  4. D两条路由都用，平分流量
18.计算机网络困难

下列哪个地址是公网（而非 RFC 1918 私有）IPv4 地址？

  1. A192.168.255.1
  2. B172.31.0.1
  3. C10.255.0.1
  4. D172.32.0.1
19.IPv4 子网划分中等
/16 → /1911111111111111111110000000000000网络位主机位

网络 172.19.0.0/16 被划分为前缀为 /19 的等大子网。共有多少个子网 N？

172.19.0.0/16/19
N =
20.IPv4 子网划分困难
第三个八位组 81 … 86012816403211608040211相同不同

一台路由器有到以下网络的路由：10.232.81.0/24, 10.232.82.0/24, 10.232.83.0/24, 10.232.84.0/24, 10.232.85.0/24, 10.232.86.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.232.81.0/24 … 10.232.86.0/24
p =

3溶液

1.数制

答案: U = 196

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

取反加一

60 = 0011 1100
取反后: 1100 0011
+1 → 1100 0100

按无符号数读取

1100 0100₂ = 256 − 60 = 196

答案

U = 196
2.数制

答案: R = 48

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

XOR 在两位不同时得 1。

1101 1011
XOR 1110 1011
= 0011 0000

结果的值

0011 0000₂ = 48

答案

R = 48
3.命题逻辑与证明

答案: 矛盾式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

q = 1: ¬q = 0, q ∧ ¬q = 0
q = 0: ¬q = 1, q ∧ ¬q = 0

分类

q ∧ ¬q: 0, 0
每一行都是 0：矛盾式。

答案

矛盾式
4.命题逻辑与证明

答案: N = 7

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

s ∧ p; ¬(s ∧ p); ¬(s ∧ p) ∧ r; ¬(¬(s ∧ p) ∧ r); ¬s; ¬s ∨ q; ¬(¬(s ∧ p) ∧ r) ∧ (¬s ∨ q)

按 p 拆分

p = 1: 4
p = 0: 3
N = 4 + 3 = 7

答案

N = 7
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 2

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′BC + ABC′

F = 1 的行

ABC = 011, 110
N = 2

答案

N = 2
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: Q = 1

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

完整循环

每 11 个脉冲使计数器回到相同的状态。

13 = 1·11 + 2

剩余脉冲之后的计数

Q = (10 + 2) mod 11 = 1
Q = 0001₂

答案

Q = 1
7.数论与模运算

答案: φ(19) = 18

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

素因数

19 = 19

欧拉函数值

φ(19) = 19 − 1 = 18

答案

φ(19) = 18
8.数论与模运算

答案: d = 1171

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

模数与欧拉函数值

n = 41·47 = 1927
φ(n) = 40·46 = 1840

扩展欧几里得算法

r = 1840, t = 0
r = 11, q = 167, t = 1
r = 3, q = 3, t = −167
r = 2, q = 1, t = 502
r = 1, q = 2, t = −669

私钥指数

d = 1171
校核: 11·1171 = 12881 = 7·1840 + 1

答案

d = 1171
9.算法与复杂度

答案: B · Ω(n log n)

为什么是这个答案

任何比较排序在最坏情况下至少需要 log₂(n!) ≈ n log n 次比较。计数排序能突破这一下界，因为它不进行比较。

答案

B · Ω(n log n)
10.算法与复杂度

答案: B · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步

为什么是这个答案

二分查找需要以 O(1) 访问中间元素；在链表上走到那里需要线性时间，因此总时间为 O(n)。

答案

B · 由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
11.数据结构

答案: A · 1 2 4 5 3

为什么是这个答案

前序遍历先访问 1，然后是其左子树（2、4、5），最后是 3；其他选项分别是中序、后序和层序遍历。

答案

A · 1 2 4 5 3
12.数据结构

答案: B · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列

为什么是这个答案

双端队列的队首始终是窗口的最大值；每个下标进出双端队列各一次，因此工作量是线性的。

答案

B · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列
13.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
14.图论

答案: d(F) = 13

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 11, C: 1
C (1): B: 9, E: 7
E (7): F: 13
B (9): D: 10
D (10)
F (13)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 13

答案

d(F) = 13
15.数据库与 SQL

答案: B · 它可以使用聚合函数来过滤分组

为什么是这个答案

HAVING 在聚合之后过滤分组，并且可以引用聚合函数；WHERE 则不能。

答案

B · 它可以使用聚合函数来过滤分组
16.数据库与 SQL

答案: A · 丢失更新

为什么是这个答案

在丢失更新中，两个事务都基于同一个旧值工作，第二次写入抹去了第一次；加锁（SELECT ... FOR UPDATE）或原子更新可以防止这种情况。

答案

A · 丢失更新
17.计算机网络

答案: C · 10.1.0.0/16，因为它是最长匹配前缀

为什么是这个答案

IP 转发使用最长前缀匹配：在所有与目的地址匹配的路由中，选择掩码最长的那一条。

答案

C · 10.1.0.0/16，因为它是最长匹配前缀
18.计算机网络

答案: D · 172.32.0.1

为什么是这个答案

172.16.0.0/12 的范围是 172.16.0.0 到 172.31.255.255，所以 172.32.0.1 在此范围之外。其他三个都在私有地址范围内。

答案

D · 172.32.0.1
19.IPv4 子网划分

答案: N = 8

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

借用位

19 − 16 = 3

子网数

N = 23 = 8

答案

N = 8

每个 /19 子网有 213 − 2 = 8190 个可用主机。

20.IPv4 子网划分

答案: p = 21

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

81 = 01010001
86 = 01010110
相同的前导位：5

前缀长度

p = 16 + 5 = 21

答案

p = /21

汇总路由：10.232.80.0/21 （它还覆盖了列表中没有的 2 个网络）。

ExamProblems · examproblems.com/courses/computer-science-fundamentals