计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −88。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −888 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 0110 0000 >> 1 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0110 0000>> 1

R =

3.命题逻辑与证明中等

p ↔ ¬p 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

p ↔ ¬p

1重言式
2矛盾式
3偶然式

4.命题逻辑与证明困难

前提为 q ∨ r; q、结论为 ¬r 的论证是无效的。点选真值表中作为反例的那一行。

q ∨ rq∴ ¬r

1q = 1, r = 1
2q = 1, r = 0
3q = 0, r = 1
4q = 0, r = 0

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C′，I₁ = C，I₂ = C，I₃ = 0。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = C′I₁ = CI₂ = CI₃ = 0

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0JK

1时钟边沿 1
2时钟边沿 2
3时钟边沿 3
4时钟边沿 4
5时钟边沿 5
6时钟边沿 6
7时钟边沿 7

7.数论与模运算中等

求满足 x ≡ 1 (mod 3) 和 x ≡ 3 (mod 13) 的最小正整数 x。

x ≡ 1 (mod 3)x ≡ 3 (mod 13)

x =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 13，q = 47，e = 13。解密密文 c = 77：求消息 m。

p = 13q = 47e = 13c = 77

m =

9.算法与复杂度中等

在无权图上进行广度优先搜索（BFS）可以求出：

A所有图的拓扑序
B从起始节点出发、按边数计的最短路径
C含负权重边的图中的最短路径
D最小生成树

10.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

AX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
BX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
CX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
DX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

11.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

A求最短路径
B存储矩阵
C自动补全等前缀查找
D对数字排序

12.数据结构困难

对于键互不相同的二叉树，哪一对遍历序列总能唯一确定这棵树？

A仅前序
B前序和后序
C仅层序
D前序和中序

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

15.数据库与 SQL中等

ROLLBACK TO SAVEPOINT s1 的作用是什么？

A删除该保存点以及此后更改过的所有表
B撤销保存点 s1 之后所做的更改，事务保持打开
C结束事务并提交所有内容
D从头撤销整个事务

16.数据库与 SQL困难

把 R 分解为 R1 和 R2 在什么情况下保证是无损的？

AR 的每个属性都同时出现在 R1 和 R2 中时
BR1 和 R2 没有公共属性时
CR1 和 R2 的列数相同时
DR1 和 R2 的公共属性构成 R1 或 R2 的超键时

17.计算机网络中等

客户端从 DHCP 获取地址时，报文的通常顺序是什么？

ADiscover、Offer、Request、Acknowledge
BDiscover、Request、Offer、Acknowledge
COffer、Discover、Acknowledge、Request
DRequest、Offer、Discover、Acknowledge

18.计算机网络困难

在具有冗余交换机链路的网络中，哪种机制可以防止广播环路？

ANAT
BDHCP 监听（DHCP snooping）
CARP 缓存
D生成树协议（Spanning Tree Protocol）

19.IPv4 子网划分中等

网络 192.168.210.0/24 被划分为若干 /28 子网，从最低地址起编号为 1、2、3、…（子网 1 从 .0 开始）。子网 11 的网络地址的第四个八位组 x 是多少？

192.168.210.0/24/28子网 11 (子网 1 从 .0 开始)

x =

20.IPv4 子网划分困难

一台路由器有到以下网络的路由：10.47.235.0/24, 10.47.236.0/24, 10.47.237.0/24, 10.47.238.0/24, 10.47.239.0/24, 10.47.240.0/24, 10.47.241.0/24, 10.47.242.0/24。能覆盖所有这些网络的单条汇总路由，其最长前缀长度 p 是多少？

10.47.235.0/24 … 10.47.242.0/24

p =

3溶液

1.数制

答案: U = 168

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

88 = 0101 1000

取反后: 1010 0111

+1 → 1010 1000

按无符号数读取

1010 1000₂ = 256 − 88 = 168

答案

U = 168

2.数制

答案: R = 48

逐位计算

右移 1 位，把每一位向右移动 1 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

0110 0000 >> 1

= 0011 0000

结果的值

0011 0000₂ = 48

答案

R = 48

3.命题逻辑与证明

答案: 矛盾式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

p = 1: ¬p = 0, p ↔ ¬p = 0

p = 0: ¬p = 1, p ↔ ¬p = 0

分类

p ↔ ¬p: 0, 0

每一行都是 0：矛盾式。

答案

矛盾式

4.命题逻辑与证明

答案: q = 1, r = 1

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

逐行列出前提与结论

q = 1, r = 1: 1 1 | 0

q = 1, r = 0: 1 1 | 1

q = 0, r = 1: 1 0 | 0

q = 0, r = 0: 0 0 | 1

反例

q = 1, r = 1

答案

q = 1, r = 1

这种形式的论证看起来像有效的规则，但只要有一行就足以说明它并不有效。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C′ + A′BC + AB′C

F = 1 的行

ABC = 000, 011, 101

N = 3

答案

N = 3

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 4

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 f_clk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0

2: J = 1, K = 0 → Q = 1

3: J = 0, K = 0 → Q = 1

4: J = 1, K = 1 → Q = 0

5: J = 0, K = 0 → Q = 0

6: J = 1, K = 0 → Q = 1

7: J = 1, K = 1 → Q = 0

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 4

答案

时钟边沿 4

7.数论与模运算

答案: x = 16

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

第一个同余式

x = 1 + 3k

第二个同余式

1 + 3k ≡ 3 (mod 13) → 3k ≡ 2 (mod 13)

k ≡ 9·2 ≡ 5 (mod 13)

结果

x = 1 + 3·5 = 16

x = 16

校核: 16 mod 3 = 1, 16 mod 13 = 3

答案

x = 16

8.数论与模运算

答案: m = 454

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 611, φ(n) = 552

d = 13⁻¹ mod 552 = 85

用反复平方法解密

85 = 64 + 16 + 4 + 1

77¹ ≡ 77 (mod 611)

77² ≡ 430 (mod 611)

77⁴ ≡ 378 (mod 611)

77⁸ ≡ 521 (mod 611)

77¹⁶ ≡ 157 (mod 611)

77³² ≡ 209 (mod 611)

77⁶⁴ ≡ 300 (mod 611)

77⁸⁵ ≡ 77·378·157·300 ≡ 454 (mod 611)

消息

m = 454

度

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

奇度顶点

A, F → 2

有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

14.图论

答案: d(F) = 34

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 3

B (3): C: 10, G: 12

C (10): E: 22

G (12): D: 23

E (22): F: 34

D (23)

F (34)

最短路径

A → B → C → E → F

块大小

2⁴ = 16

第 11 个子网

网络: (11 − 1)·16 = 160

广播: 160 + 16 − 1 = 175

答案

x = 160

20.IPv4 子网划分

答案: p = 19

路由汇总：汇总路由 a.b.c.0/p 覆盖前 p 位相同的所有网络。把第一个和最后一个网络中不同的那个八位组写成二进制；相同的前导位数加上它前面各八位组的位数，就是最长的汇总前缀。

比较各位

235 = 11101011

242 = 11110010

相同的前导位：3

前缀长度

p = 16 + 3 = 19

答案

p = /19

汇总路由：10.47.224.0/19 （它还覆盖了列表中没有的 24 个网络）。

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