计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −115。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −1158 bit
U =
2.数制困难
点击各位来设置012806403201608040201

把各位设置为 1001 1101 >> 3 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

1001 1101>> 3
R =
3.命题逻辑与证明中等
重言式矛盾式偶然式

r ∧ ¬r 是重言式、矛盾式还是偶然式？点选你的答案。

r ∧ ¬r
  1. 1重言式
  2. 2矛盾式
  3. 3偶然式
4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ((b ∧ c) ∨ ¬a) ∧ (d ↔ b) 为真？把这个数记作 N。

((b ∧ c) ∨ ¬a) ∧ (d ↔ b)
N =
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
MUX0I0​1I1​1I2​C′I3​ABS1​S0​F

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = 0，I₁ = 1，I₂ = 1，I₃ = C′。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = 0I₁ = 1I₂ = 1I₃ = C′
N =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
ABCD000111100001111000X11302X41517161120131150140809011010

对于 F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 7, 12, 15) + d(1, 4)（其中 d 表示无关项），求必要质蕴涵项的个数 N。

F(A, B, C, D) = Σm(3, 5, 6, 7, 12, 15) + d(1, 4)
N =
7.数论与模运算中等

求 80 模 97 的逆元：满足 0 < x < 97 且 80·x ≡ 1 (mod 97) 的数 x。

a = 80n = 97
80−1 mod 97 =
8.数论与模运算困难

用反复平方法求 1243 mod 89。

a = 12k = 43n = 89
1243 mod 89 =
9.算法与复杂度中等

对 n 个 k 进制、d 位的整数进行 LSD 基数排序（radix sort），运行时间是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(d(n + k))
  3. CO(dn log k)
  4. DO(n²)
10.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A它只适用于无向图
  2. B优先队列中不能存储负数
  3. C顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  4. D每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
11.数据结构中等

一棵高度为 h（以边数计）的满二叉树有多少个节点？

  1. A2h+1 − 1
  2. B2h
  3. Ch2
  4. D2h + 1
12.数据结构困难

为什么不能简单地通过清除位来从标准布隆过滤器中删除元素？

  1. A布隆过滤器中的位在创建后不能更改
  2. B这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
  3. C删除会使假阳性率增加到 100%
  4. D布隆过滤器存储完整的元素，而这些元素一旦被哈希就无法再找回
13.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
14.图论困难
5115194162ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =
15.数据库与 SQL中等

GRANT SELECT ON employees TO alice 的作用是什么？

  1. A把 employees 表复制给 alice
  2. B允许 alice 更新和删除 employees 表中的行
  3. C让 alice 成为数据库的所有者
  4. D允许用户 alice 读取 employees 表
16.数据库与 SQL困难

x 为 NULL，y = 1。条件 (x > 5 OR y = 1) 的值是什么？

  1. AUNKNOWN
  2. BTRUE
  3. CNULL，因此该行总是被拒绝
  4. DFALSE
17.计算机网络中等

一个 /26 的 IPv4 子网有多少个可用主机地址？

  1. A30
  2. B62
  3. C64
  4. D126
18.计算机网络困难

在 SYN 泛洪攻击中，攻击者试图耗尽什么资源？

  1. A服务器的磁盘空间
  2. B服务器的半开连接表
  3. C客户端的 DNS 缓存
  4. D交换机的 MAC 地址表
19.IPv4 子网划分中等
/?11111111111111111111110000000000网络位主机位

某部门在一个子网内需要 876 个主机地址。足够使用的最长前缀 p（最小子网）是多少？

876 hosts
p =
20.IPv4 子网划分困难
最后一个八位组 = 130112806403201608041201网络主机

某主机地址为 10.20.221.130/30。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.221.130/30
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 141

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

115 = 0111 0011
取反后: 1000 1100
+1 → 1000 1101

按无符号数读取

1000 1101₂ = 256 − 115 = 141

答案

U = 141
2.数制

答案: R = 19

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

逐位计算

右移 3 位，把每一位向右移动 3 个位置；从右端移出的位丢失，左侧补入 0。

1001 1101 >> 3
= 0001 0011

结果的值

0001 0011₂ = 19

答案

R = 19
3.命题逻辑与证明

答案: 矛盾式

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

逐行写出真值表

r = 1: ¬r = 0, r ∧ ¬r = 0
r = 0: ¬r = 1, r ∧ ¬r = 0

分类

r ∧ ¬r: 0, 0
每一行都是 0：矛盾式。

答案

矛盾式
4.命题逻辑与证明

答案: N = 5

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

b ∧ c; ¬a; (b ∧ c) ∨ ¬a; d ↔ b; ((b ∧ c) ∨ ¬a) ∧ (d ↔ b)

按 a 拆分

a = 1: 1
a = 0: 4
N = 1 + 4 = 5

答案

N = 5
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B + AB′ + ABC′

F = 1 的行

ABC = 010, 011, 100, 101, 110
N = 5

答案

N = 5
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 4

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

BC′D′, BCD, A′D, A′B
ABCD000111100001111000X11302X41517161120131150140809011010

必要质蕴涵项

BC′D′, BCD, A′D, A′B
N = 4

答案

N = 4
7.数论与模运算

答案: 80−1 mod 97 = 57

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·80 (mod 97)。

r = 97, t = 0
r = 80, q = 1, t = 1
r = 17, q = 4, t = −1
r = 12, q = 1, t = 5
r = 5, q = 2, t = −6
r = 2, q = 2, t = 17
r = 1, q = 2, t = −40

逆矩阵

1 ≡ −40·80 (mod 97)
x = 57
校核: 80·57 = 4560 = 47·97 + 1

答案

80−1 mod 97 = 57
8.数论与模运算

答案: 1243 mod 89 = 37

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

二进制指数

43 = 1010112 = 32 + 8 + 2 + 1

反复平方

121 ≡ 12 (mod 89)
122 ≡ 55 (mod 89)
124 ≡ 88 (mod 89)
128 ≡ 1 (mod 89)
1216 ≡ 1 (mod 89)
1232 ≡ 1 (mod 89)

把需要的幂相乘

1243 ≡ 12·55·1·1 ≡ 37 (mod 89)

答案

1243 mod 89 = 37
9.算法与复杂度

答案: B · O(d(n + k))

为什么是这个答案

d 趟中的每一趟都是代价为 O(n + k) 的计数排序，因此当 d 和 k 固定时，总时间关于 n 是线性的。

答案

B · O(d(n + k))
10.算法与复杂度

答案: C · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

C · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
11.数据结构

答案: A · 2h+1 − 1

为什么是这个答案

求和 1 + 2 + 4 + ... + 2h 得到 2h+1 − 1；例如，高度为 2 时有 7 个节点。

答案

A · 2h+1 − 1
12.数据结构

答案: B · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性

为什么是这个答案

清除一个共享的位会使另一个元素看起来不存在；计数布隆过滤器用计数器代替位，从而允许删除。

答案

B · 这些位可能同时属于其他元素，从而导致假阴性
13.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
14.图论

答案: W = 23

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AC (1): 取
BE (2): 取
CE (4): 取
AB (5): 跳过，会形成圈
BC (15): 跳过，会形成圈
DE (16): 取

总权重

W = 1 + 2 + 4 + 16 = 23

答案

W = 23
15.数据库与 SQL

答案: D · 允许用户 alice 读取 employees 表

为什么是这个答案

GRANT 授予对某个对象的权限；SELECT 只允许读取，而 INSERT、UPDATE 和 DELETE 是单独的权限。

答案

D · 允许用户 alice 读取 employees 表
16.数据库与 SQL

答案: B · TRUE

为什么是这个答案

x > 5 为 UNKNOWN，但与 TRUE 进行 OR 运算无论如何都是 TRUE，因此该行被保留；同理，UNKNOWN AND FALSE 为 FALSE。

答案

B · TRUE
17.计算机网络

答案: B · 62

为什么是这个答案

/26 有 6 个主机位：2⁶ = 64 个地址，减去网络地址和广播地址，得到 62 个可用主机地址。

答案

B · 62
18.计算机网络

答案: B · 服务器的半开连接表

为什么是这个答案

每个 SYN 都使服务器预留状态并等待一个永远不会到来的 ACK。SYN cookie 可以在握手完成之前避免保存状态。

答案

B · 服务器的半开连接表
19.IPv4 子网划分

答案: p = 22

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

所需主机位

29 − 2 = 510 < 876
210 − 2 = 1022 ≥ 876 → h = 10

前缀长度

p = 32 − 10 = 22

答案

p = /22
20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

22 = 4

该主机所在子网

网络: ⌊130/4⌋·4 = 128
广播: 128 + 4 − 1 = 131
可用主机: 129 … 130

答案

x = 128

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