计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −40。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −408 bit

U =

2.数制困难

把各位设置为 0111 1100 XOR 0011 1101 的 8 位结果。该结果的十进制值 R 是多少？

0111 1100XOR0011 1101

R =

3.命题逻辑与证明中等

你想用反证法来证明 (p ∧ r) → ¬q。一开始要假设哪个命题？点选它。

(p ∧ r) → ¬q

1¬(p ∧ r) ∧ ¬q
2¬(p ∧ r) → ¬¬q
3¬(p ∧ r) ∧ ¬¬q
4(p ∧ r) ∧ ¬¬q

4.命题逻辑与证明困难

真值表的 16 行中，有多少行使 ¬((b ↔ (c → d)) → (a ↔ (c ∨ b))) 为真？把这个数记作 N。

¬((b ↔ (c → d)) → (a ↔ (c ∨ b)))

N =

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

一个 4 选 1 多路选择器的选择输入为 S₁ = A 和 S₀ = B，数据输入分别接 I₀ = C，I₁ = 1，I₂ = C，I₃ = C。在 A、B、C 的 8 种组合中，有多少种使输出 F = 1？求 N。

I₀ = CI₁ = 1I₂ = CI₃ = C

N =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 10) + d(11, 12, 13, 14, 15) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它包含多少个文字 L？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 2, 8, 10) + d(11, 12, 13, 14, 15)

L =

7.数论与模运算中等

解 17x ≡ 20 (mod 23)。给出满足 0 < x < 23 的解 x。

17x ≡ 20 (mod 23)

x =

8.数论与模运算困难

97 是素数。用费马小定理求 22⁴⁸⁶⁴² mod 97。

p = 97k = 48642

22⁴⁸⁶⁴² mod 97 =

9.算法与复杂度中等

说一个 O(n²) 算法也是 O(n³)，这正确吗？

A不正确，因为当 n 很大时 n³ 小于 n²
B正确，但仅当 n 小于 100 时
C不正确，因为 Big O 必须始终给出函数的确切增长率
D正确，因为 Big O 是上界，而 n² 的增长不比 n³ 快

10.算法与复杂度困难

为什么在单链表上二分查找不能达到 O(log n) 的时间？

A由于不能按下标直接访问，到达中间元素需要 O(n) 步
B链表无法排序
C二分查找至少需要两倍的内存
D链表节点上的比较更慢

11.数据结构中等

你持有一个位于链表中间的节点的引用。在哪种链表中可以在 O(1) 内删除它？

A动态数组
B双向链表
C单链表
D有序数组

12.数据结构困难

基数树（压缩字典树）相比普通字典树有什么改进？

A它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边
B它只保留每个单词的首字母
C它按频率对每个节点的子节点排序
D它把每个单词存储在根处的哈希表中，而不是存储在单独的节点中

13.图论中等

一个连通图有 17 个顶点和 21 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 17|E| = 21

k =

14.图论困难

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9

W =

15.数据库与 SQL中等

employees 表有一列 manager_id，引用另一名员工。如何在每名员工旁边列出其经理的姓名？

A用两个别名把 employees 表与它自身连接
B使用 UNION ALL 和 WHERE 过滤把该表与自身合并
C只使用 GROUP BY manager_id
D在磁盘上创建该表的第二个副本

16.数据库与 SQL困难

预写日志（WAL）规则要求什么？

A日志只在崩溃之后才写入
B一项更改的日志记录必须先于被更改的数据页写入稳定存储
C数据页必须先于日志写入
D每个查询在被解析之前都必须记录日志

17.计算机网络中等

分布式拒绝服务（DDoS）攻击的特征是什么？

A攻击者从附近的汽车里读取未加密的 Wi-Fi 流量
B大量被攻陷的机器用流量淹没一个目标
C一种病毒删除一台 PC 上的文件
D一个攻击者猜测用户的密码

18.计算机网络困难

与 IPv4 相比，IPv6 的分片有何不同？

AIPv6 路由器在转发之前对路径上每个大于 64 字节的数据包进行分片
BIPv6 在传输层的 TCP 内部分片
C路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现
DIPv6 不允许大于 576 字节的数据包

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.254.0。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.254.0

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.247.94/30。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.247.94/30

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 216

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

40 = 0010 1000

取反后: 1101 0111

+1 → 1101 1000

按无符号数读取

1101 1000₂ = 256 − 40 = 216

答案

U = 216

2.数制

答案: R = 65

逐位计算

XOR 在两位不同时得 1。

0111 1100

XOR 0011 1101

= 0100 0001

结果的值

0100 0001₂ = 65

答案

R = 65

3.命题逻辑与证明

答案: (p ∧ r) ∧ ¬¬q

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

蕴涵的各个部分

a = p ∧ r, b = ¬q

蕴涵的否定

¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b = (p ∧ r) ∧ ¬¬q

答案

(p ∧ r) ∧ ¬¬q

如果假设导致矛盾，则该蕴涵必为真。

4.命题逻辑与证明

答案: N = 4

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

各列

c → d; b ↔ (c → d); c ∨ b; a ↔ (c ∨ b); (b ↔ (c → d)) → (a ↔ (c ∨ b)); ¬((b ↔ (c → d)) → (a ↔ (c ∨ b)))

按 a 拆分

a = 1: 0

a = 0: 4

N = 0 + 4 = 4

答案

N = 4

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 5

多路选择器：2ⁿ 选 1 多路选择器把其数据输入之一传到输出；选择线按二进制数读取，决定选哪一个。对于选择端 S₁S₀ = AB 的 4 选 1 MUX，F = A′B′·I₀ + A′B·I₁ + AB′·I₂ + AB·I₃。把数据输入接到 0、1、C 或 C′，可使 MUX 产生 A、B、C 的任意函数，这是用一块芯片实现逻辑的常用方法。

输出表达式

F = A′B′C + A′B + AB′C + ABC

F = 1 的行

ABC = 001, 010, 011, 101, 111

N = 5

答案

N = 5

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 9

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′CD′, AD′, AC, A′B′C′D

最小覆盖

F = B′CD′ + AD′ + A′B′C′D

L = 9

答案

L = 9

7.数论与模运算

答案: x = 12

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

17 的逆元

r = 23, t = 0

r = 17, q = 1, t = 1

r = 6, q = 2, t = −1

r = 5, q = 1, t = 3

r = 1, q = 5, t = −4

17⁻¹ ≡ 19 (mod 23)

求解

x ≡ 19·20 = 380 ≡ 12 (mod 23)

校核: 17·12 = 204 ≡ 20 (mod 23)

答案

x = 12

8.数论与模运算

答案: 22⁴⁸⁶⁴² mod 97 = 96

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

A · 它把单子节点链合并为一条以字符串标记的边

13.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

17 − 1 = 16

要去掉的边数

k = 21 − 16 = 5

答案

k = 5

14.图论

答案: W = 53

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DE (1): 取

GB (2): 取

AC (5): 取

GC (12): 取

C · 路由器从不对 IPv6 数据包分片；只有源端可以分片，并使用路径 MTU 发现

19.IPv4 子网划分

答案: H = 510

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.254.0 = /23

可用主机数

2⁹ − 2 = 510

答案

H = 510

20.IPv4 子网划分

答案: x = 92

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: ⌊94/4⌋·4 = 92

广播: 92 + 4 − 1 = 95

可用主机: 93 … 94

答案

x = 92

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