计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权
二进制 2k，八进制 8k，十六进制 16k
转为十进制
Σ dk·bk
从十进制转换
除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制
一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码
按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数
2ⁿ
蕴涵
p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定
¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件
p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律
¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律
p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定
¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件
p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

  1. 数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
  2. 给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
  3. 按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
  4. 判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
  5. 否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门
A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则
X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律
(X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序
00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈
消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器
F = A′B′I0 + A′BI1 + AB′I2 + ABI3
触发器
D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器
n 位：2ⁿ 个状态； 模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； fout = fclk/N
行波计数器
fmax = 1/(n·tpd)
环形计数器与约翰逊计数器
n 个和 2n 个状态

方法

  1. 对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
  2. 化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
  3. 用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
  4. 对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法
a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得
gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数
lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵
a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程
a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数
φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马
aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA
n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

  1. 先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
  2. 求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
  3. 求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
  4. 解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
  5. 求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数
2(32 − prefix) − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小
256 − (mask octet)
网络地址
IP AND 掩码
广播地址
IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数
2n

2练习题

1.数制中等
8 位补码0−12806403201608040201

设置各位，使其以 8 位补码存储 −57。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −578 bit
U =
2.数制困难
4450 个编码，b = ? 位?2ᵇ⁻¹…?4?2?1

某系统要为 4450 个项目中的每一个分配一个长度相同的独立二进制编码。最少需要多少位 b？

4450
b = bit
3.命题逻辑与证明中等
pqrq ↔ rq ∧ p(q ↔ r) ∧ (q ∧ p)111?110?101?100?011?010?001?000?

在其真值表的 8 行中，(q ↔ r) ∧ (q ∧ p) 在多少行为真？把这个数记作 N。

(q ↔ r) ∧ (q ∧ p)
N =
4.命题逻辑与证明困难
∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

把否定完全移到内部之后，哪个命题与 ¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) 等价？点选它。

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y))
  1. 1∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
  2. 2∃x (F(x) → ∀y ¬R(x, y))
  3. 3∃x (¬F(x) ∧ ∃y R(x, y))
  4. 4∀x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))
5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等
ABC000111100101324576

把 F = AB′C + A′C′ + AB′C′ + A′BC′ 化简为最简积之和形式。化简后的表达式包含多少个文字 L？

F = AB′C + A′C′ + AB′C′ + A′BC′
L =
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难
CLKJK12345678

一个上升沿触发的 JK 触发器从 Q = 0 开始，接收到所示的输入。点选 Q 第一次从 1 回到 0 的时钟边沿。

Q₀ = 0JK
  1. 1时钟边沿 1
  2. 2时钟边沿 2
  3. 3时钟边沿 3
  4. 4时钟边沿 4
  5. 5时钟边沿 5
  6. 6时钟边沿 6
  7. 7时钟边沿 7
  8. 8时钟边沿 8
7.数论与模运算中等

求 11 模 31 的逆元：满足 0 < x < 31 且 11·x ≡ 1 (mod 31) 的数 x。

a = 11n = 31
11−1 mod 31 =
8.数论与模运算困难
mc = me​ mod n38m = cd​ mod n?(n, e) = (145, 17)d

某个 RSA 密钥使用 p = 5，q = 29，e = 17。解密密文 c = 38：求消息 m。

p = 5q = 29e = 17c = 38
m =
9.算法与复杂度中等

基于比较的排序在最坏情况下的下界是：

  1. AΩ(n log n)
  2. BΩ(n)
  3. CΩ(n²)
  4. DΩ(log n)
10.算法与复杂度困难

对于哪种背包问题变体，贪心规则"按单位重量价值的顺序取物品"总能给出最优解？

  1. A0/1 背包问题，物品必须整个拿取
  2. B两种变体都可以
  3. C两种变体都不可以
  4. D分数背包问题，物品可以分割
11.数据结构中等

哪种冲突解决方法将发生冲突的键存储在同一个桶的列表中？

  1. A线性探测（Linear probing）
  2. B双重哈希（Double hashing）
  3. C二次探测（Quadratic probing）
  4. D拉链法（Separate chaining）
12.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

  1. AO(m)
  2. BO(n)
  3. CO(log n)
  4. DO(1 + α)，其中 α = n / m
13.图论中等

完全图 K7 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K7
H =
14.图论困难
1215163413210ABCDEF

普里姆算法从顶点 E 出发构造最小生成树。点选它加入的第 5 条边。

起点：Ek = 5
  1. 1边 AB
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE
15.数据库与 SQL中等

对于电话号码为 NULL 的客户，SELECT COALESCE(phone, 'unknown') FROM customers 返回什么？

  1. A报错
  2. BNULL
  3. C'unknown'
  4. D空字符串
16.数据库与 SQL困难

为什么许多 DBMS 使用严格两阶段锁，把排他锁一直持有到提交？

  1. A它能防止级联中止，因为没有人能读到未提交的写入
  2. B它免去了事务日志
  3. C它允许事务安全地读取脏数据
  4. D它使死锁不可能发生
17.计算机网络中等

哪个范围的 TCP/UDP 端口号被保留为"知名"端口？

  1. A0–65535
  2. B0–1023
  3. C49152–65535
  4. D1024–49151
18.计算机网络困难

根据香农定理，信噪比为 255 的 1 MHz 信道容量是多少？

  1. A1 Mbit/s
  2. B255 Mbit/s
  3. C2 Mbit/s
  4. D8 Mbit/s
19.IPv4 子网划分中等
/24 → /2711111111111111111111111111100000网络位主机位

网络 192.168.10.0/24 需要划分为至少 8 个相等的子网。若借用尽可能少的位，每个子网有多少可用主机 H？

192.168.10.0/248 subnets
H =
20.IPv4 子网划分困难
最后一个八位组 = 150112806403211608141201网络主机

某主机地址为 10.20.225.150/26。其网络地址的第四个八位组 x 是多少？

10.20.225.150/26
x =

3溶液

1.数制

答案: U = 199

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

57 = 0011 1001
取反后: 1100 0110
+1 → 1100 0111

按无符号数读取

1100 0111₂ = 256 − 57 = 199

答案

U = 199
2.数制

答案: b = 13 bit

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

2 的幂

212 = 4096 < 4450
213 = 8192 ≥ 4450

答案

b = 13
3.命题逻辑与证明

答案: N = 1

真值表：含 n 个不同变量的公式有 2ⁿ 行，每一行对应真值的一种组合（1 = 真，0 = 假）。由内向外进行，给每个子公式单独一列。¬a 把值取反；a ∧ b 只有在两者都为 1 时才为 1；a ∨ b 只有在两者都为 0 时才为 0；a → b 只有在 a = 1 且 b = 0 时才为 0；a ↔ b 在两边相等时为 1。

逐行写出真值表

p = 1, q = 1, r = 1: q ↔ r = 1, q ∧ p = 1, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 1
p = 1, q = 1, r = 0: q ↔ r = 0, q ∧ p = 1, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0
p = 1, q = 0, r = 1: q ↔ r = 0, q ∧ p = 0, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0
p = 1, q = 0, r = 0: q ↔ r = 1, q ∧ p = 0, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0
p = 0, q = 1, r = 1: q ↔ r = 1, q ∧ p = 0, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0
p = 0, q = 1, r = 0: q ↔ r = 0, q ∧ p = 0, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0
p = 0, q = 0, r = 1: q ↔ r = 0, q ∧ p = 0, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0
p = 0, q = 0, r = 0: q ↔ r = 1, q ∧ p = 0, (q ↔ r) ∧ (q ∧ p) = 0

数出值为 1 的行数

(q ↔ r) ∧ (q ∧ p): 1, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0
N = 1

答案

N = 1
4.命题逻辑与证明

答案: ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

把否定移到内部

¬∀x (F(x) → ∃y R(x, y)) ≡ ∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

答案

∃x (F(x) ∧ ∀y ¬R(x, y))

其他选项要么保持某个量词不变，要么改变了量词的顺序，要么错误地否定了内部的公式。

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 4

布尔代数：化简表达式的规则有 X + X′ = 1 和 X·X′ = 0、X + X = X、吸收律 X + X·Y = X、合并律 X·Y + X·Y′ = X、X + X′Y = X + Y，以及一致性定理 XY + X′Z + YZ = XY + X′Z。德摩根律把 (X·Y)′ 变成 X′ + Y′，把 (X + Y)′ 变成 X′·Y′。卡诺图以图形方式应用这些规则：每个由两个相邻格子组成的圈，就是一次使用 XY + XY′ = X。

表达式的最小项

AB′C → m(5)
A′C′ → m(0, 2)
AB′C′ → m(4)
A′BC′ → m(2)
ABC00011110011001031214150706

圈组并读出结果

F = A′C′ + AB′

数出文字个数

L = 4

答案

L = 4
6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: 时钟边沿 5

触发器与计数器：触发器只在时钟的有效边沿改变。D 复制其输入 (Q⁺ = D)；T 在 T = 1 时翻转；JK 在 00 时保持，01 时复位，10 时置位，11 时翻转。n 位二进制计数器有 2ⁿ 个状态，按模 2ⁿ 计数；模 N 计数器依次计 0, 1, …, N − 1 然后回到 0，需要满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n 个触发器。行波计数器的每一级使频率减半，所以模 N 计数器的最后一级输出频率为 fclk/N。n 个触发器的约翰逊计数器有 2n 个状态，环形计数器有 n 个。

每个边沿之后的 Q

JK 触发器：00 保持，01 复位 (Q = 0)，10 置位 (Q = 1)，11 翻转。

1: J = 0, K = 1 → Q = 0
2: J = 1, K = 1 → Q = 1
3: J = 0, K = 0 → Q = 1
4: J = 1, K = 0 → Q = 1
5: J = 0, K = 1 → Q = 0
6: J = 1, K = 1 → Q = 1
7: J = 0, K = 0 → Q = 1
8: J = 1, K = 0 → Q = 1

第一次从 1 变为 0

时钟边沿 5

答案

时钟边沿 5
7.数论与模运算

答案: 11−1 mod 31 = 17

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·11 (mod 31)。

r = 31, t = 0
r = 11, q = 2, t = 1
r = 9, q = 1, t = −2
r = 2, q = 4, t = 3
r = 1, q = 2, t = −14

逆矩阵

1 ≡ −14·11 (mod 31)
x = 17
校核: 11·17 = 187 = 6·31 + 1

答案

11−1 mod 31 = 17
8.数论与模运算

答案: m = 63

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 145, φ(n) = 112
d = 17−1 mod 112 = 33

用反复平方法解密

33 = 32 + 1
381 ≡ 38 (mod 145)
382 ≡ 139 (mod 145)
384 ≡ 36 (mod 145)
388 ≡ 136 (mod 145)
3816 ≡ 81 (mod 145)
3832 ≡ 36 (mod 145)
3833 ≡ 38·36 ≡ 63 (mod 145)

消息

m = 63
校核: 6317 mod 145 = 38

答案

m = 63
9.算法与复杂度

答案: A · Ω(n log n)

为什么是这个答案

任何比较排序在最坏情况下至少需要 log₂(n!) ≈ n log n 次比较。计数排序能突破这一下界，因为它不进行比较。

答案

A · Ω(n log n)
10.算法与复杂度

答案: D · 分数背包问题，物品可以分割

为什么是这个答案

物品可以分割时，先取比值最高的物品是最优的；在 0/1 背包中，一个比值高的物品可能挡住更好的组合，因此需要动态规划。

答案

D · 分数背包问题，物品可以分割
11.数据结构

答案: D · 拉链法（Separate chaining）

为什么是这个答案

拉链法为每个桶维护一个链表（或其他结构）；开放寻址法则在表内寻找另一个空槽。

答案

D · 拉链法（Separate chaining）
12.数据结构

答案: D · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

D · O(1 + α)，其中 α = n / m
13.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360
14.图论

答案: 边 AB

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. EF (2)
2. CE (3)
3. DE (4)
4. BE (10)
5. AB (12)

边的序号 5

AB

答案

边 AB
15.数据库与 SQL

答案: C · 'unknown'

为什么是这个答案

COALESCE 从左到右检查参数，返回第一个不为 NULL 的值，这里是 'unknown'。

答案

C · 'unknown'
16.数据库与 SQL

答案: A · 它能防止级联中止，因为没有人能读到未提交的写入

为什么是这个答案

基本 2PL 保证可串行化，但过早释放写锁可能让其他事务读到后来被回滚的数据；严格 2PL 避免了这一点。

答案

A · 它能防止级联中止，因为没有人能读到未提交的写入
17.计算机网络

答案: B · 0–1023

为什么是这个答案

端口 0–1023 是用于标准服务的知名端口。1024–49151 是注册端口，49152–65535 是动态或私有端口。

答案

B · 0–1023
18.计算机网络

答案: D · 8 Mbit/s

为什么是这个答案

C = 10⁶ × log₂(256) = 10⁶ × 8 = 8 Mbit/s。这是有噪声信道上无差错数据速率的上限。

答案

D · 8 Mbit/s
19.IPv4 子网划分

答案: H = 30

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

借用的位数

23 = 8 ≥ 8 → b = 3, /27

每个子网的主机数

25 − 2 = 30

答案

H = 30
20.IPv4 子网划分

答案: x = 128

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。 例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

26 = 64

该主机所在子网

网络: ⌊150/64⌋·64 = 128
广播: 128 + 64 − 1 = 191
可用主机: 129 … 190

答案

x = 128

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