计算机科学导论：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 20 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

数制

位权: 二进制 2^k，八进制 8^k，十六进制 16^k
转为十进制: Σ d_k·b^k
从十进制转换: 除以基数，余数从下往上读
十六进制 ↔ 二进制: 一位十六进制数 = 4 位二进制
二进制补码: 按位取反后加 1

命题逻辑与证明

真值表的行数: 2ⁿ
蕴涵: p → q ≡ ¬p ∨ q ≡ ¬q → ¬p
蕴涵的否定: ¬(p → q) ≡ p ∧ ¬q
双条件: p ↔ q ≡ (p → q) ∧ (q → p)
德摩根律: ¬(p ∧ q) ≡ ¬p ∨ ¬q, ¬(p ∨ q) ≡ ¬p ∧ ¬q
分配律: p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r), p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r)
量词的否定: ¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x), ¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)
肯定前件，否定后件: p → q, p ⊢ q; p → q, ¬q ⊢ ¬p

方法

数一数不同变量的个数：真值表有 2ⁿ 行，从全为 1 的一行开始。
给每个子公式单独一列，由内向外逐列填写。
按各联结词的规则计算：→ 只有在 1 → 0 时为 0，↔ 在两边相同时为 1。
判断等价时，逐行比较最后一列；判断论证时，只看所有前提都为 1 的那些行。
否定带量词的命题时，把 ¬ 移到内部，交换 ∀ 和 ∃，并否定内部的公式。

数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

基本逻辑门: A·B, A + B, A′, (A·B)′, (A + B)′, A ⊕ B
布尔规则: X + X′ = 1, X·X′ = 0, X + XY = X, XY + XY′ = X
德摩根律: (X·Y)′ = X′ + Y′, (X + Y)′ = X′·Y′
卡诺图的顺序: 00, 01, 11, 10 (Gray code)
由 2ᵏ 个格子组成的圈: 消去 k 个变量
4 选 1 多路选择器: F = A′B′I₀ + A′BI₁ + AB′I₂ + ABI₃
触发器: D: Q⁺ = D, T: Q⁺ = T ⊕ Q, JK: Q⁺ = JQ′ + K′Q
计数器: n 位：2ⁿ 个状态；模 N：满足 2ⁿ ≥ N 的最小 n； f_out = f_clk/N
行波计数器: f_max = 1/(n·t_pd)
环形计数器与约翰逊计数器: n 个和 2n 个状态

方法

对于电路，从输入到输出一个门一个门地分析，并在每根线上写出值；或者写出它的表达式并填写真值表。
化简时，把 1（以及标为 X 的无关项）填入行列按格雷码 00, 01, 11, 10 排列的卡诺图。
用尽可能少而大的圈（由 1、2、4、8 或 16 个格子组成）覆盖所有 1，可以绕过边界；每个圈对应一个乘积项，由保持不变的变量构成。求 POS 形式时圈 0。
对于触发器和计数器，在每个有效时钟边沿读取输入，写出每个边沿之后的状态，并记住 n 位计数器在 2ⁿ 个状态之后回绕。

数论与模运算

带余除法: a = q·n + r, 0 ≤ r < n
欧几里得: gcd(a, b) = gcd(b, a mod b)
最小公倍数: lcm(a, b) = a·b/gcd(a, b)
逆矩阵: a·a⁻¹ ≡ 1 (mod n), gcd(a, n) = 1
线性同余方程: a·x ≡ b → x ≡ a⁻¹·b (mod n)
欧拉函数: φ(n) = n·∏(1 − 1/p), φ(pᵏ) = pᵏ − pᵏ⁻¹
费马: aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)
RSA: n = pq, φ = (p − 1)(q − 1), d = e⁻¹ mod φ, c = mᵉ mod n, m = cᵈ mod n

方法

先把每个数对 n 取模；余数在 0 到 n − 1 之间。
求最大公约数时，用欧几里得算法反复做除法；最后一个非零余数就是最大公约数。
求逆元时，运行扩展算法并保留 a 的系数；若为负数则加上 n。
解 a·x ≡ b 时，两边乘以 a⁻¹；合并两个同余式时，写成 x = r₁ + m₁k。
求幂时，把指数写成二进制并反复平方；在 RSA 中，d = e⁻¹ mod φ(n)，其中 φ(n) = (p − 1)(q − 1)。

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

IPv4 子网划分

每个子网的主机数: 2^{(32 − prefix)} − 2 (/31: 2, /32: 1)
块大小: 256 − (mask octet)
网络地址: IP AND 掩码
广播地址: IP OR (NOT 掩码)：主机位全部置 1
借用 n 位得到的子网数: 2ⁿ

2练习题

1.数制中等

设置各位，使其以 8 位补码存储 −82。按无符号数读取，该位模式的值 U 是多少？

N = −828 bit

U =

2.数制困难

一幅未压缩图像为 800 × 600 像素，每像素 24 位。它占用多少内存 M（以 KiB 计，1 KiB = 1024 字节）？

800 × 600 px24 bit/px1 KiB = 1024 B

M = KiB

3.命题逻辑与证明中等

哪个公式与 (a ∨ c) → b 在逻辑上等价？点选它。

(a ∨ c) → b

1a ∨ (c → b)
2(a → b) ∧ (c → b)
3(a → b) ∨ (c → b)
4(a ∧ c) → b

4.命题逻辑与证明困难

已知前提 b → c; c → a。由它们可以推出哪个结论？点选它。

b → cc → a

1a → b
2¬b → ¬a
3b ∧ a
4b → a

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器中等

用卡诺图求 F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 8, 9) 的最简积之和 (SOP) 形式。它总共包含多少个文字 L（带撇的变量算一个文字）？

F(A, B, C, D) = Σm(2, 6, 8, 9)

L =

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器困难

求 F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 9, 13) + d(2, 12) 的最简 SOP 形式，其中 d 表示无关项。它有多少个乘积项 N？

F(A, B, C, D) = Σm(1, 4, 9, 13) + d(2, 12)

N =

7.数论与模运算中等

求 57 模 67 的逆元：满足 0 < x < 67 且 57·x ≡ 1 (mod 67) 的数 x。

a = 57n = 67

57⁻¹ mod 67 =

8.数论与模运算困难

某个 RSA 密钥使用 p = 11，q = 29，e = 3。解密密文 c = 27：求消息 m。

p = 11q = 29e = 3c = 27

m =

9.算法与复杂度中等

你对一个 n 个元素的数组排序一次，然后用二分查找回答 k 次成员查询。总代价是多少？

AO(n + k)
BO(n log n + k log n)
CO(k n log n)
DO(nk)

10.算法与复杂度困难

关于 log(n!)，哪个界是正确的？

AΘ(n log n)
BΘ(n²)
CΘ(log n)
DΘ(n)

11.数据结构中等

在字母表固定的字典树中查找一个长度为 L 的单词需要多长时间？

AO(L × n)
BO(L)，与存储了多少个单词无关
CO(n)，其中 n 是单词个数
DO(log n)，其中 n 是单词个数

12.数据结构困难

为什么服务器可能会从一个通用哈希函数族中随机选择其哈希函数？

A使哈希表有序
B保证任何两个键永远不会发生冲突，无论攻击者发送什么键
C使攻击者极难选出许多全部发生冲突的键
D免去对表进行扩容的需要

13.图论中等

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 7|E| = 12

1欧拉回路
2有欧拉通路，无回路
3都不是

14.图论困难

从 E 到 D 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3

N =

15.数据库与 SQL中等

在两个 SELECT 查询之间使用 INTERSECT 时返回什么？

A同时出现在两个结果中的行
B两个结果的笛卡尔积
C在第一个结果中但不在第二个中的行
D两个结果中的所有行

16.数据库与 SQL困难

SELECT name, dept, AVG(salary) OVER (PARTITION BY dept) FROM emp 返回什么？

A每个部门一行及其平均工资
B只返回工资高于本部门平均值的员工
C每一行员工记录以及其所在部门的平均工资
D报错，因为 name 不在 GROUP BY 中

17.计算机网络中等

哪种 DNS 记录类型把主机名映射到 IPv6 地址？

AAAAA
BA
CCNAME
DMX

18.计算机网络困难

为什么网站出示自签名证书时浏览器会发出警告？

A该网站一定在使用 HTTP 而不是 HTTPS
B自签名证书根本不使用加密，因此流量以明文发送
C该证书总是已过期
D没有受信任的证书颁发机构担保该密钥属于该网站

19.IPv4 子网划分中等

一个子网使用掩码 255.255.255.128。它有多少个可用主机地址 H？

255.255.255.128

H =

20.IPv4 子网划分困难

某主机地址为 10.20.228.119/30。其子网广播地址的最后一个数（第四个八位组）x 是多少？

10.20.228.119/30

x =

3溶液

1.数制

答案: U = 174

设置比特位：每一位对应 2 的一个幂（128、64、…、1）。一个十六进制数字恰好是四位，在 8 位补码中最左边的位权重为 −128。按位运算对每个位位置分别进行。

取反加一

82 = 0101 0010

取反后: 1010 1101

+1 → 1010 1110

按无符号数读取

1010 1110₂ = 256 − 82 = 174

答案

U = 174

2.数制

答案: M = 1406 KiB

位置计数制：每个数位的值等于该数字乘以基数的某次幂。二进制各位的权为 1、2、4、8、16、……；十六进制为 1、16、256、……，A–F 代表 10–15。在 8 位补码中，最左边一位的权是 −128 而不是 +128，负数就是这样存储的。

位和字节

800·600·24 = 11520000 bit = 1440000 B

换算为 KiB

1440000/1024 = 1406.25 KiB

答案

M = 1406.25 KiB

3.命题逻辑与证明

答案: (a → b) ∧ (c → b)

逻辑等价：两个公式在真值表的每一行取值都相同时，它们是等价（≡）的。重言式在每一行都为 1，矛盾式在每一行都为 0，偶然式则两者都不是。常用定律：德摩根律，¬(a ∧ b) ≡ ¬a ∨ ¬b 和 ¬(a ∨ b) ≡ ¬a ∧ ¬b；a → b ≡ ¬a ∨ b ≡ ¬b → ¬a（逆否命题）；¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b；以及分配律，a ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)。

定律

(a ∨ b) → c 要求只要 a 或 b 成立就必须有 c：(a → c) ∧ (b → c)。

(a ∨ c) → b ≡ (a → b) ∧ (c → b)

用真值表检验

a = 1, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 1, b = 0, c = 1: 0 | 1 0 0 0

a = 1, b = 0, c = 0: 0 | 1 0 1 1

a = 0, b = 1, c = 1: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 1, c = 0: 1 | 1 1 1 1

a = 0, b = 0, c = 1: 0 | 0 0 1 1

a = 0, b = 0, c = 0: 1 | 1 1 1 1

答案

(a → b) ∧ (c → b)

竖线之后的各列是按所示顺序排列的各个选项。

4.命题逻辑与证明

答案: b → a

量词与论证：¬∀x P(x) ≡ ∃x ¬P(x)，¬∃x P(x) ≡ ∀x ¬P(x)。把否定向内移动，交换它经过的每个量词，并用命题逻辑的定律否定内部的公式，例如 ¬(a → b) ≡ a ∧ ¬b。当所有前提为 1 的每一行中结论也为 1 时，论证是有效的。只要有一行前提为真而结论为假，它就是反例，说明论证无效。

所有前提都为真的行

a = 1, b = 1, c = 1: a → b = 1, ¬b → ¬a = 1, b ∧ a = 1, b → a = 1

a = 1, b = 0, c = 1: a → b = 0, ¬b → ¬a = 0, b ∧ a = 0, b → a = 1

a = 1, b = 0, c = 0: a → b = 0, ¬b → ¬a = 0, b ∧ a = 0, b → a = 1

a = 0, b = 0, c = 0: a → b = 1, ¬b → ¬a = 1, b ∧ a = 0, b → a = 1

结论

b → a (假言三段论)

答案

b → a

5.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: L = 6

卡诺图：各格按格雷码（00, 01, 11, 10）排列，所以相邻的格子（包括跨越边界的格子）恰好只有一个变量不同。把 1 圈成由 1、2、4、8 或 16 个格子组成的矩形，圈尽可能大、尽可能少，直到每个 1 都被覆盖。每个圈对应一个乘积项：圈内保持不变的变量。由 2ᵏ 个格子组成的圈会消去 k 个变量。无关项 (X) 可用来使圈变大，但不必被覆盖。改为圈 0 则得到最简 POS 形式。

圈 1

每个圈都是由 2ᵏ 个格子组成的矩形；边上的格子与对边上的格子相邻。

A′CD′

AB′C′

最简 SOP 形式

F = A′CD′ + AB′C′

L = 6

答案

L = 6

6.数字逻辑：门电路、卡诺图与触发器

答案: N = 3

质蕴涵项

由 1 和 X 能够构成的最大的圈。

B′C′D, BC′D′, AC′D, ABC′

最小覆盖

F = B′C′D + BC′D′ + AC′D

N = 3

答案

N = 3

还存在另一种大小相同的圈法；它的项数和文字数相同。

7.数论与模运算

答案: 57⁻¹ mod 67 = 20

逆元与同余式：a 模 n 有逆元，当且仅当 gcd(a, n) = 1。扩展欧几里得算法把 1 写成 s·n + t·a，于是 a⁻¹ ≡ t (mod n)。当 gcd(a, n) = 1 时，同余式 a·x ≡ b (mod n) 的解为 x ≡ a⁻¹·b。模数互素的两个同余式 x ≡ r₁ (mod m₁) 和 x ≡ r₂ (mod m₂) 在模 m₁·m₂ 下有唯一解（中国剩余定理）。欧拉函数 φ(n) 表示 1 到 n 中与 n 互素的数的个数：φ(n) = n·∏(1 − 1/p)。

扩展欧几里得算法

每个余数 r 都写成 r ≡ t·57 (mod 67)。

r = 67, t = 0

r = 57, q = 1, t = 1

r = 10, q = 5, t = −1

r = 7, q = 1, t = 6

r = 3, q = 2, t = −7

r = 1, q = 3, t = 20

逆矩阵

1 ≡ 20·57 (mod 67)

x = 20

校核: 57·20 = 1140 = 17·67 + 1

答案

57⁻¹ mod 67 = 20

8.数论与模运算

答案: m = 3

模幂与 RSA：用反复平方法计算 aᵏ mod n：把 k 写成二进制，平方，每一步之后取模，并把对应二进制位为 1 的幂相乘。费马：对不整除 a 的素数 p，aᵖ⁻¹ ≡ 1 (mod p)，所以指数可以对 p − 1 取模。RSA：选取素数 p 和 q，n = p·q，φ(n) = (p − 1)(q − 1)；公钥指数 e 与 φ(n) 互素，私钥指数为 d = e⁻¹ mod φ(n)。用 c = mᵉ mod n 加密，用 m = cᵈ mod n 解密。

私钥指数

n = 319, φ(n) = 280

d = 3⁻¹ mod 280 = 187

用反复平方法解密

187 = 128 + 32 + 16 + 8 + 2 + 1

27¹ ≡ 27 (mod 319)

27² ≡ 91 (mod 319)

27⁴ ≡ 306 (mod 319)

27⁸ ≡ 169 (mod 319)

27¹⁶ ≡ 170 (mod 319)

27³² ≡ 190 (mod 319)

27⁶⁴ ≡ 53 (mod 319)

27¹²⁸ ≡ 257 (mod 319)

27¹⁸⁷ ≡ 27·91·169·170·190·257 ≡ 3 (mod 319)

消息

m = 3

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

奇度顶点

欧拉回路

答案

欧拉回路

14.图论

答案: N = 7

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。K_n 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 0 1 0 0 0

B: 0 0 1 1 1 0

C: 1 1 0 0 1 0

D · 没有受信任的证书颁发机构担保该密钥属于该网站

19.IPv4 子网划分

答案: H = 126

IPv4 subnetting: an address has 32 bits. The prefix /p says how many leading bits identify the network; the remaining 32 − p bits number the hosts. A subnet has 2³²⁻ᵖ addresses, but the first (network address) and last (broadcast address) cannot be given to hosts, so 2³²⁻ᵖ − 2 hosts fit. Exceptions: a /31 (point-to-point link, RFC 3021) uses both of its 2 addresses for hosts, and a /32 is one single address (a single host or a loopback).

前缀长度

255.255.255.128 = /25

可用主机数

2⁷ − 2 = 126

答案

H = 126

20.IPv4 子网划分

答案: x = 119

IPv4 子网划分：一个地址有 32 位。前缀 /p 表示前面多少位标识网络；其余 32 − p 位为主机编号。一个子网有 2³²⁻ᵖ 个地址，但第一个（网络地址）和最后一个（广播地址）不能分配给主机，所以可容纳 2³²⁻ᵖ − 2 台主机。例外：/31（点对点链路，RFC 3021）的 2 个地址都用于主机，/32 只有一个地址（单个主机或环回地址）。

块大小

2² = 4

该主机所在子网

网络: ⌊119/4⌋·4 = 116

广播: 116 + 4 − 1 = 119

可用主机: 117 … 118

答案

x = 119

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