控制工程 1：速成包

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e^−at ↔ 1/(s + a)，t·e^−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e^−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。

拉普拉斯变换：F(s) = ∫₀^∞ f(t)·e^−st dt 把导数变成乘以 s：ℒ{f′} = sF(s) − f(0)，ℒ{f″} = s²F(s) − s·f(0) − f′(0)。常用变换对：1 ↔ 1/s，e^−at ↔ 1/(s + a)，t·e^−at ↔ 1/(s + a)²，sin ωt ↔ ω/(s² + ω²)，cos ωt ↔ s/(s² + ω²)；平移 s → s + σ 相当于把时间函数乘以 e^−σt。要对有理函数 F(s) 求逆变换，先分解成部分分式：单极点 p 的留数为 A = [(s − p)·F(s)] 在 s = p 处的值。终值定理：f(∞) = lim_s→0 s·F(s)，仅当 s·F(s) 的所有极点都在左半平面时成立。初值定理：f(0⁺) = lim_s→∞ s·F(s)。

方框图代数：串联的方框相乘（G₁·G₂），并联的方框相加（G₁ + G₂），前向通路为 G、反馈通路为 H 的回路，在负反馈时化简为 T = G/(1 + G·H)，在正反馈时为 G/(1 − G·H)。先化简内环，再向外推进。闭环极点是特征方程 1 + G(s)H(s) = 0 的根。对于稳定的回路，大小为 A 的阶跃输入给出稳态输出 A·T(0)；单位反馈时，对阶跃的稳态误差为 A/(1 + K_p)，其中 K_p = G(0)。

方框图代数：串联的方框相乘（G₁·G₂），并联的方框相加（G₁ + G₂），前向通路为 G、反馈通路为 H 的回路，在负反馈时化简为 T = G/(1 + G·H)，在正反馈时为 G/(1 − G·H)。先化简内环，再向外推进。闭环极点是特征方程 1 + G(s)H(s) = 0 的根。对于稳定的回路，大小为 A 的阶跃输入给出稳态输出 A·T(0)；单位反馈时，对阶跃的稳态误差为 A/(1 + K_p)，其中 K_p = G(0)。

阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jω_d，其中 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}，峰值时间 t_p = π/ω_d，2 % 调节时间 t_s ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。

阶跃响应：一阶系统 G(s) = K/(τs + 1) 对大小为 U 的阶跃的响应是 y(t) = K·U·(1 − e^−t/τ)：经过一个时间常数 τ 达到终值 K·U 的 63.2 %，经过 4τ 达到 98 %。二阶系统 G(s) = K·ωₙ²/(s² + 2ζωₙs + ωₙ²) 的极点为 s = −ζωₙ ± jω_d，其中 ω_d = ωₙ√(1 − ζ²)。当 0 < ζ < 1 时，阶跃响应有超调：百分比超调量 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}，峰值时间 t_p = π/ω_d，2 % 调节时间 t_s ≈ 4/(ζωₙ)。把分母与 s² + 2ζωₙs + ωₙ² 比较，即可读出 ωₙ 和 ζ。对于质量–弹簧–阻尼器，ωₙ = √(k/m)，ζ = c/(2√(km))；对于串联 RLC 电路，ωₙ = 1/√(LC)，ζ = (R/2)·√(C/L)。

劳斯–赫尔维茨判据：当特征多项式的所有根都位于 s 平面左半部分时，线性系统是稳定的。把系数交替写入劳斯表的前两行。新一行的每个元素由上面两行得出；对于三次多项式 a₃s³ + a₂s² + a₁s + a₀，s¹ 行的元素为 b₁ = (a₂·a₁ − a₃·a₀)/a₂。第一列中符号变化的次数等于右半平面内根的个数。当系数中含有增益 K 时，第一列的每个元素都必须保持为正：使 s¹ 行元素为零的增益就是稳定极限，此时 s² 行给出持续振荡的频率。

根轨迹：当增益 K 从 0 增大到 ∞ 时，闭环极点（即 1 + K·G(s) = 0 的根）从开环极点移向开环零点或无穷远。实轴上的某一点属于根轨迹，当且仅当其右侧的实极点和实零点的总数为奇数。趋向无穷远的 n − m 条分支沿渐近线延伸，渐近线的角度为 (2q + 1)·180°/(n − m)，起点为重心 σₐ = (Σ极点 − Σ零点)/(n − m)。分支在 dK/ds = 0 处离开或汇入实轴。相角条件 ∠G(s) = 180° 决定轨迹的形状，幅值条件 K = 1/|G(s)| 给出轨迹上任意一点对应的增益。

稳态误差：在单位负反馈回路中，设开环传递函数为 G(s)，则误差为 E(s) = R(s)/(1 + G(s))，由终值定理得 e_ss = lim_s→0 s·E(s)。系统型别是 G(s) 在 s = 0 处的极点个数。误差常数为 K_p = lim G(s)、K_v = lim s·G(s) 和 K_a = lim s²·G(s)，均取 s → 0。大小为 A 的阶跃输入给出 e_ss = A/(1 + K_p)，斜坡 A·t 给出 A/K_v，抛物线 A·t²/2 给出 A/K_a。0 型回路跟踪阶跃有有限误差，1 型回路能无误差跟踪阶跃，跟踪斜坡则有有限误差。

P、PI 和 PID 控制：控制器 C(s) = K_p + K_i/s + K_d·s 作用于误差。比例增益使回路更快，并减小 0 型对象的误差，但无法将其消除。积分项增加一个 s = 0 处的极点：系统型别升高一级，阶跃输入可以被无误差地跟踪。微分项增加阻尼。选取增益时，写出闭环特征多项式，并与 s² + 2ζω_ns + ω_n² 比较。然后 %OS = 100·e^{−ζπ/√(1−ζ²)}，t_p = π/ω_d，其中 ω_d = ω_n√(1 − ζ²)，t_s ≈ 4/(ζω_n)。

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。

频率响应：在传递函数中代入 s = jω。以分贝表示的幅值为 20·log₁₀|H(jω)|，相位是分子各因子的角度之和减去分母各因子的角度之和。一阶 RC 或 RL 滤波器的转折（−3 dB）频率为 ω_c = 1/(RC) 或 R/L，而 f_c = ω_c/(2π)；低通滤波器给出 |H| = 1/√(1 + (ω/ω_c)²)，φ = −atan(ω/ω_c)。在渐近（折线）伯德图中，每个极点在其转折频率处使幅值向下弯折 20 dB/十倍频，每个零点使它向上弯折 20 dB/十倍频，积分环节 1/s 在所有频率上给出 −20 dB/十倍频。增益穿越频率 ω_c：|L(jω)| = 1（0 dB）；相位裕度 PM = 180° + ∠L(jω_c)。相位穿越频率 ω₁₈₀：∠L(jω) = −180°；增益裕度 GM = −20·log₁₀|L(jω₁₈₀)| dB。当两个裕度都为正时，闭环稳定。