公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 7 年后需要 €20 000。某账户年利率 6%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0006% / 12n = 7

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 15 年内每月月末存入 €150。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1504.8% / 12N = 180

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€31 000, €18 000, €25 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −75 000CF₁ = 31 000CF₂ = 18 000CF₃ = 25 000

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €18 500, €13 000, €15 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 13 000CF₃ = 15 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 8% 的票息，10 年后到期。其到期收益率从 7% 变为 6%。债券价格变化多少 ΔP？

F = €1 000票面利率 = 8%n = 10y₁ = 7%y₂ = 6%

ΔP = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 095，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 10.8 年。如果收益率下降 25 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 095y = 5%D = 10.8Δy = −25 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

某公司有价值 €5 000 000 的股权和价值 €3 000 000 的债务。其股权成本为 10%，税前债务成本为 6%，税率为 20%。求 WACC。

E = €5 000 000D = €3 000 000r_e = 10%r_d = 6%T = 20%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有5 000 000 股、每股 €19.50 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 020 的债券。税前债务成本为 5%，税率为 21%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 1.5%，市场回报率为 7.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 1.5%r_m = 7.5%r_d = 5%T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €10 000，单位变动成本为 €10。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €40 000，单位变动成本为 €4。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？

F_A = €10 000v_A = €10F_B = €40 000v_B = €4

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €50 销售 1 600 件，单位变动成本为 €45，固定成本为 €4 000。如果销量减少 10%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 1 600p = €50v = €45F = €4 000%ΔQ = −10%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 13155 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/12 = 0.005

N = 12·7 = 84

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.52 = €13 154.70

答案

PV = €13 154.70

2.货币的时间价值

答案: FV = 39431 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·15 = 180

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 150·(2.051 − 1)/0.004 = €39 430.68

答案

FV = €39 430.68

你自己存入了 €27 000；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = −15177 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 31 000/1.12 = 27 678.57

CF₂/(1 + 0.12)² = 18 000/1.254 = 14 349.49

CF₃/(1 + 0.12)³ = 25 000/1.405 = 17 794.51

相加

NPV = €−15 177.43

答案

NPV = €−15 177.43

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 41.03 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 313.41

NPV(45%) = −1 138.01

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·313.41/(313.41 − (−1 138.01)) = 41.08%

精确: NPV(41.03%) = 0 → IRR = 41.03%

答案

IRR = 41.03%

5.债券定价与收益率

答案: ΔP = 76.97 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

按原收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.07, N = 10

€80.00·(1 − 0.5083)/0.07 + €1 000·0.5083 = €561.89 + €508.35 = €1 070.24

按新收益率计算的价格

C = €80.00, i = 0.06, N = 10

€80.00·(1 − 0.5584)/0.06 + €1 000·0.5584 = €588.81 + €558.39 = €1 147.20

变化

ΔP = 1 147.20 − 1 070.24 = €76.97

答案

ΔP = €76.97

6.债券定价与收益率

答案: P = 1123 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 10.8/1.05 = 10.29

估计的价格变化

%ΔP ≈ −10.29·(−0.0025) = 2.571%

P ≈ 1095·(1 + 0.02571) = €1 123.16

答案

P = €1 123.16

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.05 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €8 000 000, E/V = 0.625, D/V = 0.375

WACC

WACC = 0.625·10% + 0.375·6%·(1 − 0.2) = 8.05%

答案

WACC = 8.05%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.753 %

市场价值

E = 5 000 000·€19.50 = €97 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

股权成本（CAPM）

r_e = 1.5% + 0.9·6% = 6.9%

权重

V = €102 600 000, E/V = 0.9503, D/V = 0.04971

WACC

WACC = 0.9503·6.9% + 0.04971·5%·(1 − 0.21) = 6.753%

答案

WACC = 6.753%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 5000 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

总成本相等

10 000 + 10Q = 40 000 + 4Q

求 Q

Q = (40 000 − 10 000)/(10 − 4) = 5 000

答案

Q = 5 000 件

产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = −20 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 1 600·5 = €8 000

Π = 8 000 − 4 000 = €4 000

DOL

DOL = 8 000/4 000 = 2

利润的变化

%ΔΠ = 2·(−10%) = −20%

答案

%ΔΠ = −20%

校核：新利润 = 1 440·5 − 4 000 = €3 200.00。

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