货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
公司金融：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
债券定价与收益率
- 债券价格
- P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
- 半年付息
- C/2、y/2 和 2n 期
- 当期收益率
- C/P
- 价格与收益率
- 收益率上升 → 价格下降
方法
- 求每期票息和每期收益率。
- 价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
- 半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
- 检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。
CAPM 与 WACC
- CAPM
- re = rf + β·(rm − rf)
- WACC
- E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
- 企业价值
- V = E + D
盈亏平衡分析
- 边际贡献
- CM = p − v
- 盈亏平衡销量
- QBE = FC/(p − v)
- 目标利润
- Q = (FC + profit)/(p − v)
- 利润
- π = (p − v)·Q − FC
- 安全边际
- (Q − QBE)/Q
2练习题
1.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3.6% 投资 €5 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。
PV = €5 0003.6% / 12n = 8
FV = €
2.货币的时间价值困难
你在 13 年内每月月末存入 €500。账户年利率 6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。
A = €5006% / 12N = 156
FV = €
3.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €50 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €15 500, €15 500, €21 000, €13 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 10%CF0 = −50 000CF1 = 15 500CF2 = 15 500CF3 = 21 000CF4 = 13 000
DPB = 年
4.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €4 500, €4 000, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 4 000CF3 = 7 000
IRR = %
5.债券定价与收益率中等
一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 2%，每半年付息一次，4 年后到期。到期收益率为每年 7%。 求该债券的价格 P。
F = €1 000票面利率 = 2%YTM = 7%n = 4
P = €
6.债券定价与收益率困难
一张面值为 €1 000、年票面利率为 3% 的债券 4 年后到期，售价为 €1 080。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。
F = €1 000票面利率 = 3%n = 4P = €1 080
YTM = %
7.CAPM 与 WACC中等
一家公司的融资由价值 €8 000 000 的普通股、价值 €500 000 的优先股和价值 €4 000 000 的债务构成。股权资本成本为 14%，优先股成本为 7.5%，税前债务成本为 4%。税率为 30%。求 WACC。
E = €8 000 000Ps = €500 000D = €4 000 000re = 14%rp = 7.5%rd = 4%T = 30%
WACC = %
8.CAPM 与 WACC困难
一家公司股票在当前负债权益比 0.2 下的贝塔为 1。公司计划把负债权益比提高到 0.75。税率为 25%，无风险利率为 2%，市场风险溢价为 4%。求变化后的股权资本成本 re。
βL = 1D/E1 = 0.2D/E2 = 0.75T = 25%rf = 2%rm − rf = 4%
re = %
9.盈亏平衡分析中等
一种产品可以用两种方法生产。方法 A 每年固定成本为 €30 000，单位变动成本为 €8。自动化程度更高的方法 B 每年固定成本为 €40 000，单位变动成本为 €4。年产量 Q 为多少时两种方法成本相同？
FA = €30 000vA = €8FB = €40 000vB = €4
Q = 件
10.盈亏平衡分析困难
某产品售价每件 €24，单位变动成本 €12，每年固定成本 €24 000。预算销量为 3 200 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。
F = €24 000p = €24v = €12预算 = 3 200
MS = %
3溶液
1.货币的时间价值
答案: FV = 6666 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·8 = 96
终值
FV = 5 000·(1 + 0.003)96 = 5 000·1.333 = €6 665.91
答案
FV = €6 665.91
2.货币的时间价值
答案: FV = 117724 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·13 = 156
存款的终值
FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 500·(2.177 − 1)/0.005 = €117 723.66
答案
FV = €117 723.66
你自己存入了 €78 000；其余是利息。
3.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.825 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 15 500/1.1 = 14 090.91 → Σ = 14 090.91
年份 2: 15 500/1.21 = 12 809.92 → Σ = 26 900.83
年份 3: 21 000/1.331 = 15 777.61 → Σ = 42 678.44
年份 4: 13 000/1.464 = 8 879.17 → Σ = 51 557.61
最后一年的分数
DPB = 3 + 7 321.56/8 879.17 = 3.825
答案
DPB = 3.825 年
折现回收期总是长于简单回收期（2.905 年）。
4.NPV 与 IRR
答案: IRR = 23.39 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 578.70
NPV(25%) = −256.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·578.70/(578.70 − (−256.00)) = 23.47%
精确: NPV(23.39%) = 0 → IRR = 23.39%
答案
IRR = 23.39%
5.债券定价与收益率
答案: P = 828.2 €
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
每期
C = €10.00, i = 0.035, N = 8
票息的现值
€10.00·(1 − 0.7594)/0.035 = €68.74
面值的现值
€1 000·0.7594 = €759.41
价格
P = €828.15
答案
P = €828.15
收益率高于票面利率，所以债券折价出售。
6.债券定价与收益率
答案: YTM = 0.9522 %
债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。
收益率方程
€1 080 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁴)/y + €1 000/(1 + y)⁴
数值求解
P(1%) = €1 078.04, P(1%) = €1 078.04
YTM = 0.9522%
答案
YTM = 0.9522%
7.CAPM 与 WACC
答案: WACC = 10.16 %
资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：re = rf + β·(rm − rf)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。
权重
V = 8 000 000 + 500 000 + 4 000 000 = €12 500 000
E/V = 0.64, Ps/V = 0.04, D/V = 0.32
WACC
WACC = 0.64·14% + 0.04·7.5% + 0.32·4%·(1 − 0.3) = 10.16%
答案
WACC = 10.16%
8.CAPM 与 WACC
答案: re = 7.435 %
有杠杆贝塔（哈马达公式）：负债使股权风险增大。βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E)，其中 βU 是无负债时业务的贝塔。要把贝塔转换到另一种资本结构，先去杠杆，再按新的 D/E 加杠杆。
对贝塔去杠杆
βU = 1/(1 + 0.75·0.2) = 0.8696
按新的 D/E 重新加杠杆
βL = 0.8696·(1 + 0.75·0.75) = 1.359
股权成本（CAPM）
re = 2% + 1.359·4% = 7.435%
答案
re = 7.435%
9.盈亏平衡分析
答案: Q = 2500 件
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
总成本相等
30 000 + 8Q = 40 000 + 4Q
求 Q
Q = (40 000 − 30 000)/(8 − 4) = 2 500
答案
Q = 2 500 件
产量低于此值时方法 A 更便宜；高于此值时自动化的方法 B 更便宜。
10.盈亏平衡分析
答案: MS = 37.5 %
本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。
盈亏平衡销量
Q = F/(p − v) = 24 000/12 = 2 000
安全边际
MS = (3 200 − 2 000)/3 200·100 = 37.5%
答案
MS = 37.5%
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