公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €20 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €20 0002% / 4n = 3

PV = €

2.货币的时间价值困难

你在 29 年内每月月末存入 €100。账户年利率 4.2%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1004.2% / 12N = 348

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €13 500, €24 000, €17 500, €22 500, €18 000, €22 000。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF₀ = −60 000CF₁ = 13 500CF₂ = 24 000CF₃ = 17 500CF₄ = 22 500CF₅ = 18 000CF₆ = 22 000

DPB = 年

4.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €9 500, €8 000, €8 500。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 500CF₂ = 8 000CF₃ = 8 500

MIRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 9%n = 12

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只债券的交易价格为 €1 065，到期收益率为 5%（按年复利），麦考利久期为 10.5 年。如果收益率下降 75 个基点，用修正久期估计新价格 P。

P₀ = €1 065y = 5%D = 10.5Δy = −75 bp

P = €

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 1。其股权资本成本为 11%，税前债务成本为 3%，税率为 21%。求 WACC。

D/E = 1r_e = 11%r_d = 3%T = 21%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 500 000 股、每股 €28.00 的股票，以及 5 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 6%，税率为 21%。股票的 β 系数为 1.1，无风险利率为 3%，市场回报率为 9.5%。求 WACC。

β = 1.1r_f = 3%r_m = 9.5%r_d = 6%T = 21%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €24 的价格销售 8 000 件。单位变动成本为 €4，固定成本为 €100 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 8 000p = €24v = €4F = €100 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

某产品售价每件 €19，单位变动成本 €15，每年固定成本 €4 800。预算销量为 1 380 件。求安全边际 MS，以占预算销量的百分比表示。

F = €4 800p = €19v = €15预算 = 1 380

MS = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: PV = 18838 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005

N = 4·3 = 12

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 20 000/1.062 = €18 838.11

答案

PV = €18 838.11

2.货币的时间价值

答案: FV = 67807 €

月利率和存款次数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·29 = 348

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(3.373 − 1)/0.0035 = €67 806.83

答案

FV = €67 806.83

你自己存入了 €34 800；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.629 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 13 500/1.06 = 12 735.85 → Σ = 12 735.85

年份 2: 24 000/1.124 = 21 359.91 → Σ = 34 095.76

年份 3: 17 500/1.191 = 14 693.34 → Σ = 48 789.10

年份 4: 22 500/1.262 = 17 822.11 → Σ = 66 611.21

最后一年的分数

DPB = 3 + 11 210.90/17 822.11 = 3.629

答案

DPB = 3.629 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.222 年）。

4.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 13.67 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 500·1.12² = 11 916.80

8 000·1.12¹ = 8 960.00

8 500·1.12⁰ = 8 500.00

TV = 29 376.80

MIRR

MIRR = (29 376.80/20 000)^1/3 − 1 = 13.67%

答案

MIRR = 13.67%

5.债券定价与收益率

答案: P = 855 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.045, N = 24

票息的现值

€35.00·(1 − 0.3477)/0.045 = €507.34

面值的现值

€1 000·0.3477 = €347.70

价格

P = €855.05

答案

P = €855.05

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: P = 1145 €

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

修正久期

D_mod = 10.5/1.05 = 10

估计的价格变化

%ΔP ≈ −10·(−0.0075) = 7.5%

P ≈ 1065·(1 + 0.075) = €1 144.88

答案

P = €1 144.88

久期是线性估计；收益率变化较大时，凸性会使实际价格略高一些。

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 6.685 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 1) = 0.5

D/V = 1/(1 + 1) = 0.5

WACC

WACC = 0.5·11% + 0.5·3%·(1 − 0.21) = 6.685%

答案

WACC = 6.685%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 9.773 %

市场价值

E = 2 500 000·€28.00 = €70 000 000

D = 5 000·€1 050 = €5 250 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3% + 1.1·6.5% = 10.15%

权重

V = €75 250 000, E/V = 0.9302, D/V = 0.06977

WACC

WACC = 0.9302·10.15% + 0.06977·6%·(1 − 0.21) = 9.773%

答案

WACC = 9.773%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 2.667

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 8 000·(24 − 4) = €160 000

营业利润

Π = 160 000 − 100 000 = €60 000

DOL

DOL = 160 000/60 000 = 2.667

答案

DOL = 2.667

10.盈亏平衡分析

答案: MS = 13.04 %

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

盈亏平衡销量

Q = F/(p − v) = 4 800/4 = 1 200

安全边际

MS = (1 380 − 1 200)/1 380·100 = 13.04%

答案

MS = 13.04%

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