公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €1 000，按季度复利。求 4 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004.8% / 4n = 4

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €2 500，共 27 年，第一笔今天存入。账户年利率为 8%。第 27 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €2 500i = 8%n = 27

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €50 000。它在 3 年内每年年末产生 €18 500，之后可以以 €12 500 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €50 000CF = €18 500S = €12 500n = 3r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €80 000。其现金流在第 1 年年末为 €11 500，之后每年增长 2%，直到第 7 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €80 000CF₁ = €11 500g = 2%n = 7r = 10%

NPV = €

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 3%，每半年付息一次，6 年后到期。到期收益率为每年 6%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 3%YTM = 6%n = 6

P = €

6.债券定价与收益率困难

一只面值为 €1 000 的债券每年支付 6% 的票息，5 年后到期。到期收益率为 3.5%。求麦考利久期 D，以年表示。

F = €1 000票面利率 = 6%n = 5YTM = 3.5%

D = 年

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的负债权益比（按市场价值）为 0.75。其股权资本成本为 13%，税前债务成本为 4%，税率为 25%。求 WACC。

D/E = 0.75r_e = 13%r_d = 4%T = 25%

WACC = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €11.50 的股票，以及 10 000 张、每张市价 €960 的债券。税前债务成本为 3%，税率为 30%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 3.5%，市场回报率为 8%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 3.5%r_m = 8%r_d = 3%T = 30%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

一家公司以每件 €19 的价格销售 960 件。单位变动成本为 €4，固定成本为 €12 000。求该销售水平下的经营杠杆系数 DOL。

Q = 960p = €19v = €4F = €12 000

DOL =

10.盈亏平衡分析困难

一家公司每月以每件 €35 销售 5 000 件，单位变动成本为 €15，固定成本为每月 €40 000。单位变动成本上涨 €4，价格保持不变。现在每月必须销售多少件 Q 才能保持相同的利润？

Q = 5 000p = €35v = €15 → €19F = €40 000

Q = 件

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1210 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/4 = 0.012

N = m·n = 4·4 = 16

终值

FV = 1 000·(1 + 0.012)¹⁶ = 1 000·1.21 = €1 210.29

答案

FV = €1 210.29

2.货币的时间价值

答案: FV = 235847 €

普通年金系数

((1 + 0.08)²⁷ − 1)/0.08 = 87.35

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 2 500·87.35·1.08 = €235 847.07

答案

FV = €235 847.07

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 3331 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

18 500·2.402 = 44 433.88

残值的现值

12 500/1.405 = 8 897.25

NPV

NPV = −50 000 + 44 433.88 + 8 897.25 = €3 331.13

答案

NPV = €3 331.13

4.NPV 与 IRR

答案: NPV = −20984 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.1))⁷ = 0.5895

PV = 11 500/(0.1 − 0.02)·(1 − 0.5895) = 59 015.50

NPV

NPV = 59 015.50 − 80 000 = −€20 984.50

答案

NPV = −€20 984.50

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

5.债券定价与收益率

答案: P = 850.7 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €15.00, i = 0.03, N = 12

票息的现值

€15.00·(1 − 0.7014)/0.03 = €149.31

面值的现值

€1 000·0.7014 = €701.38

价格

P = €850.69

答案

P = €850.69

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: D = 4.496 年

久期：麦考利久期是债券支付各笔现金流的加权平均时间，以各笔现金流的现值为权重：D = Σ t·PVₜ/P。修正久期 D/(1 + y) 用于估计收益率小幅变化时价格变化的百分比：%ΔP ≈ −D_mod·Δy。

各笔现金流的现值

t = 1: 60/1.035 = 57.97, t·PV = 57.97

t = 2: 60/1.071 = 56.01, t·PV = 112.02

t = 3: 60/1.109 = 54.12, t·PV = 162.35

t = 4: 60/1.148 = 52.29, t·PV = 209.15

t = 5: 1060/1.188 = 892.49, t·PV = 4 462.46

久期

P = 1 112.88

D = 5 003.95/1 112.88 = 4.496

答案

D = 4.496 年

7.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 8.714 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

由 D/E 求权重

E/V = 1/(1 + 0.75) = 0.5714

D/V = 0.75/(1 + 0.75) = 0.4286

WACC

WACC = 0.5714·13% + 0.4286·4%·(1 − 0.25) = 8.714%

答案

WACC = 8.714%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.945 %

市场价值

E = 2 000 000·€11.50 = €23 000 000

D = 10 000·€960 = €9 600 000

股权成本（CAPM）

r_e = 3.5% + 0.9·4.5% = 7.55%

权重

V = €32 600 000, E/V = 0.7055, D/V = 0.2945

WACC

WACC = 0.7055·7.55% + 0.2945·3%·(1 − 0.3) = 5.945%

答案

WACC = 5.945%

9.盈亏平衡分析

答案: DOL = 6

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献总额

CM = 960·(19 − 4) = €14 400

营业利润

Π = 14 400 − 12 000 = €2 400

DOL

DOL = 14 400/2 400 = 6

答案

DOL = 6

10.盈亏平衡分析

答案: Q = 6250 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

当前利润

Π = 5 000·(35 − 15) − 40 000 = €60 000

新的单位边际贡献

35 − 19 = €16

保持相同利润所需的件数

Q = (40 000 + 60 000)/16 = 6 250

答案

Q = 6 250 件

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