公司金融：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 10 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

债券定价与收益率

债券价格: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
半年付息: C/2、y/2 和 2n 期
当期收益率: C/P
价格与收益率: 收益率上升 → 价格下降

方法

求每期票息和每期收益率。
价格 = 票息的现值（年金）+ 面值的现值。
半年付息时，票息减半、收益率减半、期数加倍。
检验：若收益率高于票面利率，价格低于面值。

CAPM 与 WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
企业价值: V = E + D

盈亏平衡分析

边际贡献: CM = p − v
盈亏平衡销量: Q_BE = FC/(p − v)
目标利润: Q = (FC + profit)/(p − v)
利润: π = (p − v)·Q − FC
安全边际: (Q − Q_BE)/Q

2练习题

1.货币的时间价值中等

你以每年 5% 的利率连续复利投资 €1 000。求 11 年后的价值 FV。

PV = €1 000r = 5%t = 11

FV = €

2.货币的时间价值困难

你在 13 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1003.6% / 12N = 156

FV = €

3.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €100 000。它在第一年年末产生 €9 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF₁ = €9 000g = 4%r = 12%

NPV = €

4.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €6 000, €5 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 6 000CF₂ = 5 000

IRR = %

5.债券定价与收益率中等

一张面值为 €1 000 的债券，年票面利率为 7%，每半年付息一次，12 年后到期。到期收益率为每年 9%。求该债券的价格 P。

F = €1 000票面利率 = 7%YTM = 9%n = 12

P = €

6.债券定价与收益率困难

一张面值为 €1 000、年票面利率为 8% 的债券 3 年后到期，售价为 €1 055。求其到期收益率 YTM，以百分比表示。

F = €1 000票面利率 = 8%n = 3P = €1 055

YTM = %

7.CAPM 与 WACC中等

一家公司的股权价值为 €6 000 000，债务价值为 €5 000 000。其 WACC 为 9.11%，税前债务成本为 4.5%，税率为 28%。求股权资本成本 r_e。

E = €6 000 000D = €5 000 000WACC = 9.11%r_d = 4.5%T = 28%

r_e = %

8.CAPM 与 WACC困难

某公司有2 000 000 股、每股 €38.00 的股票，以及 40 000 张、每张市价 €1 050 的债券。税前债务成本为 7%，税率为 20%。股票的 β 系数为 0.9，无风险利率为 2.5%，市场回报率为 6.5%。求 WACC。

β = 0.9r_f = 2.5%r_m = 6.5%r_d = 7%T = 20%

WACC = %

9.盈亏平衡分析中等

某产品售价每件 €9，单位变动成本 €4。每月固定成本为 €25 000。每月需卖出多少件 Q 才能实现利润 €2 000？

F = €25 000p = €9v = €4利润 = €2 000

Q = 件

10.盈亏平衡分析困难

一家公司以每件 €6 销售 5 000 件，单位变动成本为 €4，固定成本为 €8 000。如果销量增加 20%，营业利润变化百分之多少 %ΔΠ？

Q = 5 000p = €6v = €4F = €8 000%ΔQ = +20%

%ΔΠ = %

3溶液

1.货币的时间价值

答案: FV = 1733 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.05·11 = 0.55

e^0.55 = 1.733

终值

FV = 1 000·1.733 = €1 733.25

答案

FV = €1 733.25

2.货币的时间价值

答案: FV = 19856 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·13 = 156

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 100·(1.596 − 1)/0.003 = €19 855.97

答案

FV = €19 855.97

你自己存入了 €15 600；其余是利息。

3.NPV 与 IRR

答案: NPV = 12500 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 9 000/(0.12 − 0.04) = 112 500.00

NPV

NPV = 112 500.00 − 100 000 = €12 500.00

答案

NPV = €12 500.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

4.NPV 与 IRR

答案: IRR = 6.811 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 249.43

NPV(10%) = −413.22

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·249.43/(249.43 − (−413.22)) = 6.882%

精确: NPV(6.811%) = 0 → IRR = 6.811%

答案

IRR = 6.811%

5.债券定价与收益率

答案: P = 855 €

债券定价：债券价格是其现金流按到期收益率（YTM）折现后的现值：各期票息构成一笔年金，面值在到期时偿还。P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ。收益率高于票面利率时，债券以低于面值的价格交易；反之则高于面值。

每期

C = €35.00, i = 0.045, N = 24

票息的现值

€35.00·(1 − 0.3477)/0.045 = €507.34

面值的现值

€1 000·0.3477 = €347.70

价格

P = €855.05

答案

P = €855.05

收益率高于票面利率，所以债券折价出售。

6.债券定价与收益率

答案: YTM = 5.945 %

收益率方程

€1 055 = €80·(1 − (1 + y)⁻³)/y + €1 000/(1 + y)³

数值求解

P(5%) = €1 081.70, P(6%) = €1 053.46

YTM = 5.945%

答案

YTM = 5.945%

7.CAPM 与 WACC

答案: r_e = 14 %

资本成本：CAPM 给出股东要求的回报率：r_e = r_f + β·(r_m − r_f)。加权平均资本成本按市场价值对股权和债务加权：WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)，其中 V = E + D。利息可在税前扣除，因此有 (1 − T)。

权重

V = €11 000 000, E/V = 0.5455, D/V = 0.4545

WACC 中的债务部分

0.4545·4.5%·(1 − 0.28) = 1.473%

股权成本

r_e = (9.11% − 1.473%)/0.5455 = 14%

答案

r_e = 14%

8.CAPM 与 WACC

答案: WACC = 5.922 %

市场价值

E = 2 000 000·€38.00 = €76 000 000

D = 40 000·€1 050 = €42 000 000

股权成本（CAPM）

r_e = 2.5% + 0.9·4% = 6.1%

权重

V = €118 000 000, E/V = 0.6441, D/V = 0.3559

WACC

WACC = 0.6441·6.1% + 0.3559·7%·(1 − 0.2) = 5.922%

答案

WACC = 5.922%

9.盈亏平衡分析

答案: Q = 5400 件

本量利：每卖出一件产品就获得边际贡献，即售价减去单位变动成本。利润 = Q·(p − v) − F，其中 F 为固定成本。在盈亏平衡点利润为零，所以 Q = F/(p − v)。

单位边际贡献

p − v = 9 − 4 = €5

实现目标利润的销量

Q = (F + 利润)/(p − v) = (25 000 + 2 000)/5 = 5 400

答案

Q = 5 400 件

10.盈亏平衡分析

答案: %ΔΠ = 100 %

经营杠杆：固定成本使利润对销售额的反应更强烈。经营杠杆系数 DOL = 边际贡献/营业利润，表示销售额变化 1% 时利润变化 DOL %。它在刚超过盈亏平衡点时非常高，并随销售额增长而下降。

边际贡献和利润

CM = 5 000·2 = €10 000

Π = 10 000 − 8 000 = €2 000

DOL

DOL = 10 000/2 000 = 5

利润的变化

%ΔΠ = 5·(+20%) = +100%

答案

%ΔΠ = +100%

校核：新利润 = 6 000·2 − 8 000 = €4 000.00。

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