数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)？

  1. AO(n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

一个问题是 NP 完全（NP-complete）的，当且仅当它：

  1. A可以在多项式时间内解决
  2. B属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
  3. C不属于 NP，但比所有 NP 问题都难，例如停机问题
  4. D不可能被解决
3.数据结构中等

字典树（Trie，前缀树）特别适合用于：

  1. A自动补全等前缀查找
  2. B存储矩阵
  3. C对数字排序
  4. D求最短路径
4.数据结构困难

为什么数据库常用 B+ 树而不是普通的 B 树来建立索引？

  1. AB+ 树只在根中存储数据
  2. B所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
  3. CB+ 树不需要保持平衡
  4. DB+ 树使用二叉内部节点，从而减少磁盘读取次数
5.图论中等

一棵树有 3 个度为 3 的顶点, 4 个度为 4 的顶点, 4 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

3 × deg 34 × deg 44 × deg 5
L =
6.图论困难
749111616314ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n)

为什么是这个答案

对外层 n 次迭代中的每一次，内层循环约运行 log₂ n 次，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

C · O(n log n)
2.算法与复杂度

答案: B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它

为什么是这个答案

NP 完全问题是 NP 中最难的问题；只要其中一个有多项式算法，整个 NP 就都有多项式算法。

答案

B · 属于 NP，且所有 NP 问题都能在多项式时间内归约到它
3.数据结构

答案: A · 自动补全等前缀查找

为什么是这个答案

字典树沿路径按字符存储字符串，因此查找和前缀查询的时间与键的长度成正比。

答案

A · 自动补全等前缀查找
4.数据结构

答案: B · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效

为什么是这个答案

在 B+ 树中，内部节点只用于引导查找，叶子按键的顺序链接起来，因此范围查询先找到第一个键，再沿着叶子向后走。

答案

B · 所有记录都在相互链接的叶子中，使范围扫描很高效
5.图论

答案: L = 25

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 45 = 2(L + 11) − 2
L = 25

答案

L = 25

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 32

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取
GD (3): 取
AC (4): 取
EF (6): 取
AB (7): 取
BC (9): 跳过，会形成圈
BD (11): 取

总权重

W = 1 + 3 + 4 + 6 + 7 + 11 = 32

答案

W = 32

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms