数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在一个有序数组中，你从两端各放一个指针向内移动，寻找和为目标值的两个元素。时间复杂度是多少？

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.算法与复杂度困难

最短简单路径可以在多项式时间内求出。在一般图中求两个顶点之间的最长简单路径，已知情况如何？

  1. A它是 NP 难的
  2. B总能在 O(V + E) 内求解
  3. C它是不可判定的
  4. D可以把权重取反后用 Dijkstra 算法求解
3.数据结构中等

在字母表固定的字典树中查找一个长度为 L 的单词需要多长时间？

  1. AO(L)，与存储了多少个单词无关
  2. BO(n)，其中 n 是单词个数
  3. CO(log n)，其中 n 是单词个数
  4. DO(L × n)
4.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

  1. A先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
  2. B在该节点处进行一次右旋
  3. C先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
  4. D在该节点处进行一次左旋
5.图论中等
ABCDE欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 5|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDEF

从 C 到 B 的长度为 3 的途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 3
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

如果和太小，左指针右移；如果和太大，右指针左移，因此最多 n 步。

答案

B · O(n)
2.算法与复杂度

答案: A · 它是 NP 难的

为什么是这个答案

长度为 V − 1 的最长简单路径就是一条哈密顿路径，而这是一个 NP 完全问题；不过在有向无环图上，它可以在线性时间内求解。

答案

A · 它是 NP 难的
3.数据结构

答案: A · O(L)，与存储了多少个单词无关

为什么是这个答案

每个字符选择一个子节点，因此无论字典树中有多少单词，一次查找都只需 L 步。

答案

A · O(L)，与存储了多少个单词无关
4.数据结构

答案: A · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

为什么是这个答案

第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。

答案

A · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
5.图论

答案: 欧拉回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

奇度顶点

0
欧拉回路

答案

欧拉回路
6.图论

答案: N = 6

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

再走一步

(M³)CB = 1·1 + 1·0 + 2·1 + 2·1 + 1·1 + 0·0 = 6

答案

N = 6

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