数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

在有 V 个顶点、E 条边的图上，Bellman–Ford 算法的时间复杂度是多少？

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(E log V)
2.算法与复杂度困难

用自底向上的方法从 n 个无序元素构建二叉堆的时间复杂度是多少？

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
3.数据结构中等

检查 "{[()]}" 中的括号是否匹配，使用哪种数据结构？

  1. A哈希表
  2. B栈
  3. C队列
  4. D二叉搜索树
4.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

  1. A每个节点恰好有两个子节点
  2. B键只存储在根中
  3. C所有叶子都位于同一深度
  4. D每个节点只存储一个键
5.图论中等

一个连通图有 9 个顶点和 18 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 9|E| = 18
k =
6.图论困难
16119204128211ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 9
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(V × E)

为什么是这个答案

V − 1 轮中的每一轮都松弛全部 E 条边，因此为 O(VE)；作为交换，它能处理负权边。

答案

A · O(V × E)
2.算法与复杂度

答案: B · O(n)

为什么是这个答案

对各层的下沉代价求和得到一个收敛级数，因此建堆（heapify）在线性时间内完成。

答案

B · O(n)
3.数据结构

答案: B · 栈

为什么是这个答案

遇到左括号就 push，遇到右括号就 pop；右括号必须与弹出的括号匹配，并且最后栈必须为空。

答案

B · 栈
4.数据结构

答案: C · 所有叶子都位于同一深度

为什么是这个答案

节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。

答案

C · 所有叶子都位于同一深度
5.图论

答案: k = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

9 − 1 = 8

要去掉的边数

k = 18 − 8 = 10

答案

k = 10
6.图论

答案: W = 42

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

AC (1): 取
GB (2): 取
DE (4): 取
EF (8): 取
GE (11): 取
DF (12): 跳过，会形成圈
AB (16): 取

总权重

W = 1 + 2 + 4 + 8 + 11 + 16 = 42

答案

W = 42

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