数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

用标准的三重循环计算两个 n × n 矩阵的乘积，时间复杂度是多少？

  1. AO(n³)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.算法与复杂度困难

要证明一个判定问题 X 是 NP 完全的，必须证明哪两点？

  1. AX 属于 P，并且 X 能归约到 SAT
  2. BX 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
  3. CX 能归约到 P 中的某个问题，并且 X 属于 NP
  4. DX 没有多项式算法，并且 X 是可判定的
3.数据结构中等

运行中的程序使用哪种数据结构来记录活动的函数调用及其局部变量？

  1. A由函数组成的哈希表
  2. B由栈帧组成的二叉搜索树
  3. C堆内存队列
  4. D调用栈
4.数据结构困难

如何只用 O(1) 的额外内存检测一个单链表中是否有环？

  1. A对链表排序并寻找重复元素
  2. B把每个访问过的节点存入一个哈希集合
  3. C让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
  4. D计数节点，直到计数超过链表的长度字段
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 7
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
182152018371314ABCDEFG

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 7|E| = 10
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · O(n³)

为什么是这个答案

共有 n² 个元素，每个需要 n 次乘法，因此共 n³ 次运算。

答案

A · O(n³)
2.算法与复杂度

答案: B · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X

为什么是这个答案

属于 NP 说明 X 不比 NP 更难；从已知 NP 完全问题出发的归约说明 X 至少和整个 NP 一样难。

答案

B · X 属于 NP，并且某个已知的 NP 完全问题能在多项式时间内归约到 X
3.数据结构

答案: D · 调用栈

为什么是这个答案

每次调用压入一个栈帧，每次返回弹出一个栈帧，这就是最近的调用最先结束的原因。

答案

D · 调用栈
4.数据结构

答案: C · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇

为什么是这个答案

在 Floyd 算法中，如果有环，快指针最终会追上慢指针；否则快指针会到达 null。

答案

C · 让一个指针每次走一步，另一个每次走两步，检查它们是否相遇
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 2, deg(D) = 3, deg(E) = 3, deg(F) = 1

奇度顶点

B, D, E, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: W = 40

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

DE (1): 取
AC (2): 取
EF (3): 取
GB (7): 取
DF (8): 跳过，会形成圈
GC (13): 取
GD (14): 取

总权重

W = 1 + 2 + 3 + 7 + 13 + 14 = 40

答案

W = 40

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