数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理: Σ deg(v) = 2|E|
完全图: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
正则图: |E| = n·k/2
树与森林: |E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉: 回路：所有顶点度数为偶数；通路：恰有 2 个奇度顶点
K_n 中的哈密顿回路: (n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径: (Mᴸ)_ij

方法

写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

下面代码的时间复杂度是多少：for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)？

AO(n)
BO(log n)
CO(n log n)
DO(n²)

2.算法与复杂度困难

用一个只保留最后两个值的循环计算第 n 个斐波那契数，时间和空间代价各是多少？

AO(2ⁿ) 时间和 O(1) 空间
BO(n) 时间和 O(n) 空间
CO(n) 时间和 O(1) 空间
DO(log n) 时间和 O(n) 空间

3.数据结构中等

在使用开放寻址法的哈希表中，可能的最大负载因子是多少？

A0.5
B没有最大值
C2
D1

4.数据结构困难

在简单均匀哈希假设下，在含 n 个键、m 个桶的拉链法哈希表中查找的期望时间是多少？

AO(log n)
BO(1 + α)，其中 α = n / m
CO(m)
DO(n)

5.图论中等

完全图 K₇ 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K₇

H =

6.图论困难

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F

d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n log n)

为什么是这个答案

对外层 n 次迭代中的每一次，内层循环约运行 log₂ n 次，因此总复杂度为 O(n log n)。

答案

C · O(n log n)

2.算法与复杂度

答案: C · O(n) 时间和 O(1) 空间

为什么是这个答案

每一步只需要前两个值，因此自底向上方法中的表格可以用两个变量代替。

答案

C · O(n) 时间和 O(1) 空间

3.数据结构

答案: D · 1

为什么是这个答案

使用开放寻址法时，所有键都存储在表本身中，因此 n 不能超过 m；拉链法的负载因子可以大于 1。

答案

D · 1

4.数据结构

答案: B · O(1 + α)，其中 α = n / m

为什么是这个答案

计算哈希的代价是 O(1)，链的期望长度为 α，因此通过扩容使 α 有界，就能得到 O(1) 的期望时间。

答案

B · O(1 + α)，其中 α = n / m

5.图论

答案: H = 360

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；K_n 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

答案

H = 360

6.图论

答案: d(F) = 11

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 6, C: 6

B (6): D: 9, G: 12

C (6): E: 10

D (9): F: 18

E (10): F: 11

F (11)

G (12)

最短路径

A → C → E → F

d(F) = 11

答案

d(F) = 11

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms