数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

哪种排序算法是稳定的？

  1. A归并排序
  2. B选择排序（常见版本）
  3. C堆排序
  4. D快速排序（常见的原地版本）
2.算法与复杂度困难

拓扑排序只适用于：

  1. A完全图
  2. B有向无环图（DAG）
  3. C带负权重的图
  4. D无向图
3.数据结构中等

深度优先搜索（迭代版本）使用哪种数据结构？

  1. A队列
  2. B仅哈希表
  3. C堆
  4. D栈
4.数据结构困难

在循环缓冲区中，front == rear 既可能表示空，也可能表示满。区分它们的一种常见方法是什么？

  1. A另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
  2. B把 front 和 rear 存储在同一个变量中
  3. C使缓冲区大小为 2 的幂
  4. D每当 front 等于 rear 时就始终清空缓冲区，使其状态为空
5.图论中等

一个连通图有 11 个顶点和 21 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 11|E| = 21
k =
6.图论困难
61217313472ABCDEF

普里姆算法从顶点 C 出发构造最小生成树。点选它加入的第 3 条边。

起点：Ck = 3
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 归并排序

为什么是这个答案

当合并时遇到相等元素优先取左半部分，归并排序就是稳定的。原地快速排序、堆排序和选择排序通常不稳定。

答案

A · 归并排序
2.算法与复杂度

答案: B · 有向无环图（DAG）

为什么是这个答案

当且仅当有向图中没有环时才存在拓扑序；可以用 DFS 或 Kahn 算法在 O(V + E) 内求出。

答案

B · 有向无环图（DAG）
3.数据结构

答案: D · 栈

为什么是这个答案

DFS 尽可能向深处探索，自然地使用栈（或递归的调用栈）；BFS 使用队列。

答案

D · 栈
4.数据结构

答案: A · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用

为什么是这个答案

有计数时，空表示 count = 0，满表示 count = capacity；留一个空槽时，满定义为 (rear + 1) mod n == front。

答案

A · 另外保存一个元素计数，或者始终留一个槽位不用
5.图论

答案: k = 11

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

11 − 1 = 10

要去掉的边数

k = 21 − 10 = 11

答案

k = 11
6.图论

答案: 边 BE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. AC (12)
2. AB (6)
3. BE (2)
4. BD (3)
5. DF (4)

边的序号 3

BE

答案

边 BE

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