数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A所有元素都不相同的数组
  2. B随机顺序的数组
  3. C已经有序的数组
  4. D长度为 2 的数组
2.算法与复杂度困难

为什么当某些边权为负时，Dijkstra 算法可能给出错误结果？

  1. A顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
  2. B每遇到一条负权边它就会陷入无限循环
  3. C它只适用于无向图
  4. D优先队列中不能存储负数
3.数据结构中等

在用数组存储的二叉最小堆（索引从 0 开始）中，索引为 i 的节点的子节点位于：

  1. A2i + 1 和 2i + 2
  2. Bi + 1 和 i + 2
  3. C2i 和 2i + 1
  4. Di/2 和 i/2 + 1
4.数据结构困难

在使用开放寻址法的哈希表中，为什么删除操作常用"墓碑"（tombstone）标记？

  1. A出于安全考虑，被删除的键必须永久保留，因此槽位永远不能重用
  2. B它能使表变得有序
  3. C墓碑可以加快哈希计算
  4. D清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论中等

一棵树有 4 个度为 3 的顶点, 4 个度为 4 的顶点, 3 个度为 5 的顶点，其余所有顶点都是叶子（度为 1）。它有多少片叶子 L？

4 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.图论困难
1312220171518ABCDE

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 5|E| = 7
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

C · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: A · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径

为什么是这个答案

贪心步骤依赖于非负权重，才能保证取出的距离是最终值；权重可能为负时应使用 Bellman–Ford。

答案

A · 顶点被取出时距离就被确定，但之后的负权边仍可能给它一条更短的路径
3.数据结构

答案: A · 2i + 1 和 2i + 2

为什么是这个答案

对于从 0 开始的数组，左子节点位于 2i + 1，右子节点位于 2i + 2，父节点位于 ⌊(i − 1)/2⌋。

答案

A · 2i + 1 和 2i + 2
4.数据结构

答案: D · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列

为什么是这个答案

如果被删除的槽位变为空，之后的查找可能会提前停止，从而漏掉探测链中更靠后的键。

答案

D · 清空槽位可能会破坏其他键的探测序列
5.图论

答案: L = 23

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

树的握手引理

L + 43 = 2(L + 11) − 2
L = 23

答案

L = 23

捷径：L = 2 + Σ (d − 2)，对度 d ≥ 3 的顶点求和。

6.图论

答案: W = 46

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

BC (2): 取
AC (12): 取
AB (13): 跳过，会形成圈
DE (15): 取
CE (17): 取

总权重

W = 2 + 12 + 15 + 17 = 46

答案

W = 46

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