数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么动态规划不能真正加速归并排序？

  1. A它的子问题不重叠，因此没有可以复用的结果
  2. B归并排序没有递归结构
  3. C动态规划只适用于图问题，不适用于数组
  4. D归并排序已经是 O(n)
2.算法与复杂度困难

Held–Karp 动态规划算法能精确求解旅行商问题。对 n 个城市，它的运行时间是多少？

  1. AO(n!)
  2. BO(n³)
  3. CO(2n²)
  4. DO(n² 2ⁿ)
3.数据结构中等

如果按已排序的顺序插入键，含 n 个节点的二叉搜索树在最坏情况下的高度是多少？

  1. A√n
  2. Bn（退化为链表）
  3. C1
  4. Dlog₂ n
4.数据结构困难

线段树（segment tree）通常用于：

  1. A实现栈
  2. B通过把每个前缀存储在单独的树节点中，按字母顺序对字符串排序
  3. C在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
  4. D存储图的边
5.图论中等

一个连通图有 8 个顶点和 17 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 8|E| = 17
k =
6.图论困难
1652117102093ABCDEFG

普里姆算法从顶点 G 出发构造最小生成树。点选它加入的第 6 条边。

起点：Gk = 6
  1. 1边 AC
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 DE
  5. 5边 DF
  6. 6边 EF
  7. 7边 GB
  8. 8边 GC
  9. 9边 GD

3溶液

1.算法与复杂度

答案: A · 它的子问题不重叠，因此没有可以复用的结果

为什么是这个答案

归并排序的两个半部分互不相交，每个只求解一次；只有当子问题重复出现时（如斐波那契），DP 才有帮助。

答案

A · 它的子问题不重叠，因此没有可以复用的结果
2.算法与复杂度

答案: D · O(n² 2ⁿ)

为什么是这个答案

大约有 n 2ⁿ 个状态，每个状态在 O(n) 内算出；这是指数级的，但比尝试全部 (n − 1)! 条回路快得多。

答案

D · O(n² 2ⁿ)
3.数据结构

答案: B · n（退化为链表）

为什么是这个答案

有序插入会生成高度为 n 的退化树，使查找变为 O(n)。平衡树可以避免这种情况。

答案

B · n（退化为链表）
4.数据结构

答案: C · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新

为什么是这个答案

线段树存储各区间的聚合值，支持在 O(log n) 时间内完成区间查询和单点更新。

答案

C · 在 O(log n) 时间内处理区间查询（如区间求和）和更新
5.图论

答案: k = 10

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

8 − 1 = 7

要去掉的边数

k = 17 − 7 = 10

答案

k = 10
6.图论

答案: 边 AC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

普里姆算法

1. GD (3)
2. BD (2)
3. BC (5)
4. DF (7)
5. EF (10)
6. AC (16)

边的序号 6

AC

答案

边 AC

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