数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序的最坏情况时间复杂度是多少？

  1. AO(n)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.算法与复杂度困难

用动态规划求解 0/1 背包问题需要 O(nW) 时间。为什么称之为伪多项式（pseudo-polynomial）？

  1. A因为该算法是随机化的，其运行时间随每个输入而变化
  2. B因为 n 总是很小
  3. C因为它只适用于 W = 0
  4. DW 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构中等

链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？

  1. A使链表有序
  2. B存储元素的个数
  3. C通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
  4. D防止链表增长超过固定的最大节点数
4.数据结构困难

红黑树必须满足哪条性质？

  1. A根节点必须是红色
  2. B从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
  3. C每个节点都必须是红色
  4. D每个红色节点的子节点必须是红色，因此红色节点总是沿着通向叶子的路径连成不间断的链
5.图论中等

一个连通图有 14 个顶点和 20 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 14|E| = 20
k =
6.图论困难
319151417116ABCDE

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4
  1. 1边 AB
  2. 2边 AC
  3. 3边 BC
  4. 4边 BD
  5. 5边 CE
  6. 6边 DE
  7. 7边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · O(n²)

为什么是这个答案

如果基准一直选得很差（例如输入已排好序且选第一个元素为基准），划分就会不平衡，导致 O(n²)。平均情况为 O(n log n)。

答案

C · O(n²)
2.算法与复杂度

答案: D · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的

为什么是这个答案

运行时间关于 W 的数值是多项式的，但关于其长度（log W 位）是指数级的；0/1 背包问题是 NP 完全的。

答案

D · W 是一个数值，因此运行时间相对于表示 W 所需的位数是指数级的
3.数据结构

答案: C · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

为什么是这个答案

有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。

答案

C · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
4.数据结构

答案: B · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同

为什么是这个答案

红黑树规则：节点为红色或黑色，根为黑色，红色节点的子节点为黑色，所有路径的黑高相同，从而使高度 ≤ 2 log₂(n + 1)。

答案

B · 从任一节点到其所有后代叶子的每条路径上，黑色节点的数量都相同
5.图论

答案: k = 7

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

14 − 1 = 13

要去掉的边数

k = 20 − 13 = 7

答案

k = 7
6.图论

答案: 边 BC

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. AB (3)
2. BE (6)
3. DE (11)
4. BC (15)

边的序号 4

BC

答案

边 BC

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms