数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

递推式 T(n) = T(n − 1) + O(1) 的解是什么？

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.算法与复杂度困难

下列哪个可满足性问题已知可以在多项式时间内求解？

  1. A电路可满足性问题
  2. B3-SAT，每个子句恰好有三个文字
  3. C合取范式公式上的一般 SAT
  4. D2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构中等

一个道路网络有 100,000 个路口，每个路口大约与另外 4 个路口相连。哪种表示方法最合适？

  1. A邻接表
  2. B邻接矩阵
  3. C一个有序的顶点数组
  4. D一个由边组成的二叉堆
4.数据结构困难

哪种结构能以总共 O(n) 的时间求出数组中每个大小为 k 的窗口的最大值？

  1. A通过移动元素来更新的有序数组
  2. B一个按值递减顺序保存下标的双端队列
  3. C由窗口元素组成的单链表
  4. D为每个窗口重建的最小堆
5.图论中等

完全图 K6 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K6
H =
6.图论困难
15433131381337ABCDEFG

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · O(n)

为什么是这个答案

共有 n 层，每层的工作量是常数，例如递归地对数组求和。

答案

D · O(n)
2.算法与复杂度

答案: D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字

为什么是这个答案

2-SAT 属于 P（通过强连通分量可在线性时间内求解），而 3-SAT 是 NP 完全的。

答案

D · 2-SAT，每个子句至多有两个文字
3.数据结构

答案: A · 邻接表

为什么是这个答案

矩阵需要 1010 个单元，几乎全是空的；邻接表只存储大约 400,000 个边表项。

答案

A · 邻接表
4.数据结构

答案: B · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列

为什么是这个答案

双端队列的队首始终是窗口的最大值；每个下标进出双端队列各一次，因此工作量是线性的。

答案

B · 一个按值递减顺序保存下标的双端队列
5.图论

答案: H = 60

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

答案

H = 60
6.图论

答案: d(F) = 15

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 15, C: 4
C (4): E: 7, G: 7
E (7): D: 20, F: 15
G (7)
B (15): D: 18
F (15)
D (18)

最短路径

A → C → E → F
d(F) = 15

答案

d(F) = 15

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