数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

为什么在 Big O 中通常省略对数的底，例如写成 O(log n)？

  1. A底只在 n 很小时才有影响
  2. B对数总是被四舍五入为整数
  3. C不同底的对数之间只相差一个常数因子
  4. D计算机科学中所有对数的底都是 10，所以可以省略
2.算法与复杂度困难

Karatsuba 乘法满足 T(n) = 3T(n/2) + O(n)。它的解是什么？

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n3)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
3.数据结构中等

Dijkstra 算法使用哪种抽象数据类型来选择下一个要处理的顶点？

  1. A无序集合
  2. BFIFO 队列
  3. C最小优先队列
  4. D栈
4.数据结构困难

哪条性质使每棵 B 树都保持完全平衡？

  1. A每个节点恰好有两个子节点
  2. B每个节点只存储一个键
  3. C键只存储在根中
  4. D所有叶子都位于同一深度
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
ABCDEF

长度为 2 且起点和终点都是 B 的闭途径有多少条？途径可以重复顶点和边。把这个数记作 N。

M = 邻接矩阵L = 2
N =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: C · 不同底的对数之间只相差一个常数因子

为什么是这个答案

换底相当于把对数乘以一个常数，而 Big O 忽略常数因子。

答案

C · 不同底的对数之间只相差一个常数因子
2.算法与复杂度

答案: D · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585

为什么是这个答案

由于 log₂ 3 ≈ 1.585 > 1，根据主定理叶子层占主导，因此优于 O(n²) 的竖式乘法。

答案

D · Θ(nlog₂ 3)，约为 n1.585
3.数据结构

答案: C · 最小优先队列

为什么是这个答案

最小优先队列（通常是二叉堆）能高效地返回距离最小的未访问顶点。

答案

C · 最小优先队列
4.数据结构

答案: D · 所有叶子都位于同一深度

为什么是这个答案

节点满时向上分裂，只有根分裂时树才会变高，因此所有叶子始终处于同一层。

答案

D · 所有叶子都位于同一深度
5.图论

答案: 有欧拉通路，无回路

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 2, deg(B) = 2, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 2, deg(F) = 2

奇度顶点

C, D → 2
有欧拉通路，无回路

答案

有欧拉通路，无回路

欧拉通路从一个奇度顶点出发，在另一个奇度顶点结束。

6.图论

答案: N = 4

度：顶点的度是与它相连的边的条数。每条边有两个端点，所以度数之和等于边数的两倍：Σ deg(v) = 2|E|（握手引理）。因此奇度顶点的个数是偶数。Kn 有 n(n − 1)/2 条边，n 个顶点的 k-正则图有 nk/2 条边，n 个顶点的树有 n − 1 条边。

邻接矩阵

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 0
F: 0 0 0 1 0 0

公共邻点

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

答案

N = 4

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