数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

快速排序总是使用第一个元素作为基准。它在哪种输入上表现出最坏情况？

  1. A所有元素都不相同的数组
  2. B已经有序的数组
  3. C长度为 2 的数组
  4. D随机顺序的数组
2.算法与复杂度困难

最短简单路径可以在多项式时间内求出。在一般图中求两个顶点之间的最长简单路径，已知情况如何？

  1. A可以把权重取反后用 Dijkstra 算法求解
  2. B它是不可判定的
  3. C总能在 O(V + E) 内求解
  4. D它是 NP 难的
3.数据结构中等

链表中哨兵（哑）节点的作用是什么？

  1. A使链表有序
  2. B防止链表增长超过固定的最大节点数
  3. C通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
  4. D存储元素的个数
4.数据结构困难

在 Kruskal 最小生成树算法中，并查集结构用来做什么？

  1. A按权重对边排序
  2. B选择起始顶点
  3. C在搜索过程中存储每个顶点到源点的当前距离
  4. D检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论中等

一个连通图有 12 个顶点和 16 条边。必须去掉多少条边 k 才能剩下一棵生成树？

|V| = 12|E| = 16
k =
6.图论困难
208161219176ABCDEF

求带权图的最小生成树的总权重 W。

|V| = 6|E| = 8
W =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: B · 已经有序的数组

为什么是这个答案

在有序输入上，基准总是最小值，因此一侧为空，另一侧有 n − 1 个元素，结果为 O(n²)。

答案

B · 已经有序的数组
2.算法与复杂度

答案: D · 它是 NP 难的

为什么是这个答案

长度为 V − 1 的最长简单路径就是一条哈密顿路径，而这是一个 NP 完全问题；不过在有向无环图上，它可以在线性时间内求解。

答案

D · 它是 NP 难的
3.数据结构

答案: C · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码

为什么是这个答案

有了哨兵节点，每个真实节点都有前驱，因此在头部插入或删除无需特殊处理。

答案

C · 通过消除头部或尾部的特殊情况来简化代码
4.数据结构

答案: D · 检查一条边的两个端点是否已经连通

为什么是这个答案

Find 判断两个端点是否在同一个连通分量中；如果不在，就加入这条边，并用 union 合并两个分量。

答案

D · 检查一条边的两个端点是否已经连通
5.图论

答案: k = 5

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

生成树的边数

12 − 1 = 11

要去掉的边数

k = 16 − 11 = 5

答案

k = 5
6.图论

答案: W = 41

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

CE (1): 取
BE (6): 取
AC (8): 取
DE (9): 取
BD (12): 跳过，会形成圈
BC (16): 跳过，会形成圈
DF (17): 取

总权重

W = 1 + 6 + 8 + 9 + 17 = 41

答案

W = 41

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