数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

基于比较的排序在最坏情况下的下界是：

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.算法与复杂度困难

为什么在有序数组中任何基于比较的查找在最坏情况下都需要 Ω(log n) 次比较？

  1. A每次比较都需要对数时间
  2. B二分查找是唯一可能的算法，它需要 log₂ n 次比较
  3. C有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
  4. D每个元素都必须至少比较一次
3.数据结构中等

使用邻接矩阵检查边 (u, v) 是否存在需要多长时间？

  1. AO(E)
  2. BO(1)
  3. CO(V)
  4. DO(log V)
4.数据结构困难

对以邻接矩阵存储的、有 V 个顶点的图进行广度优先搜索，运行时间是多少？

  1. AO(E log V)
  2. BO(V²)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V)
5.图论中等
ABCDEF欧拉回路有欧拉通路，无回路都不是

这个连通图有欧拉回路、有不是回路的欧拉通路，还是两者都没有？点选你的答案。

|V| = 6|E| = 6
  1. 1欧拉回路
  2. 2有欧拉通路，无回路
  3. 3都不是
6.图论困难
79119532ABCDEF

用迪杰斯特拉算法求带权图中从 A 到 F 的最短路径的长度 d(F)。

起点：A终点：F
d(F) =

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · Ω(n log n)

为什么是这个答案

任何比较排序在最坏情况下至少需要 log₂(n!) ≈ n log n 次比较。计数排序能突破这一下界，因为它不进行比较。

答案

D · Ω(n log n)
2.算法与复杂度

答案: C · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n

为什么是这个答案

每次比较至多把剩余的可能性减半，因此要区分 n 个位置至少需要 log₂ n 次比较。

答案

C · 有 n 种可能结果的决策树，其深度至少为 log₂ n
3.数据结构

答案: B · O(1)

为什么是这个答案

第 u 行第 v 列的元素立即告诉你该边是否存在；邻接表则可能需要扫描 u 的邻居。

答案

B · O(1)
4.数据结构

答案: B · O(V²)

为什么是这个答案

V 个顶点中的每一个都要扫描一行 V 个元素，因此为 O(V²)；使用邻接表时 BFS 为 O(V + E)。

答案

B · O(V²)
5.图论

答案: 都不是

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

度

deg(A) = 1, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2, deg(F) = 1

奇度顶点

A, B, C, F → 4
都不是

答案

都不是
6.图论

答案: d(F) = 12

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

迪杰斯特拉算法逐轮过程

每一行：被确定的顶点、它的最终距离，以及距离得到改进的邻点。

A (0): B: 7, C: 9
B (7): C: 8, D: 8, E: 9
C (8)
D (8)
E (9): F: 12
F (12)

最短路径

A → B → E → F
d(F) = 12

答案

d(F) = 12

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