数据结构与算法：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 6 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

图论

握手引理
Σ deg(v) = 2|E|
完全图
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
正则图
|E| = n·k/2
树与森林
|E| = n − 1, |E| = n − c
树的叶子
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
欧拉
回路：所有顶点度数为偶数； 通路：恰有 2 个奇度顶点
Kn 中的哈密顿回路
(n − 1)!/2
迪杰斯特拉更新
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
长度为 L 的途径
(Mᴸ)ij

方法

  1. 写出每个顶点的度数；所有度数之和等于边数的两倍。
  2. 对于欧拉问题，先检查图是否连通，再数一数奇度顶点的个数。
  3. 对于树，利用 n − 1 条边和握手引理。
  4. 对于迪杰斯特拉算法，保留一张暂定距离表，每一轮确定未确定顶点中距离最小的那个。
  5. 对于最小生成树，把边按权重排序，跳过每条会形成圈的边（克鲁斯卡尔算法），或者从一个起点出发扩展一棵树（普里姆算法）。

2练习题

1.算法与复杂度中等

Prim 算法如何构建最小生成树？

  1. A不断删除最贵的边，直到没有环为止
  2. B把所有边按权重排序，逐条加入，除非会在森林中形成环
  3. C运行广度优先搜索并保留 BFS 树
  4. D从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度困难

对于哪种背包问题变体，贪心规则"按单位重量价值的顺序取物品"总能给出最优解？

  1. A两种变体都不可以
  2. B0/1 背包问题，物品必须整个拿取
  3. C分数背包问题，物品可以分割
  4. D两种变体都可以
3.数据结构中等

循环缓冲区（环形缓冲区）通常用于实现：

  1. A图的遍历
  2. B固定大小的队列
  3. C哈希函数
  4. D二叉搜索树
4.数据结构困难

一个 AVL 节点失衡，原因是其左子节点的右子树变得过高（左右情况）。应采用哪种修正？

  1. A在该节点处进行一次右旋
  2. B先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
  3. C先在左子节点处右旋，再在该节点处左旋
  4. D在该节点处进行一次左旋
5.图论中等

完全图 K8 有多少条不同的哈密顿回路 H？只是起点或方向不同的回路算作同一条。

K8
H =
6.图论困难
1816314178205ABCDEF

克鲁斯卡尔算法构造最小生成树。点选它加入的第 4 条边；被跳过的边不计。

k = 4
  1. 1边 AC
  2. 2边 BC
  3. 3边 BD
  4. 4边 CE
  5. 5边 DE
  6. 6边 DF
  7. 7边 EF
  8. 8边 BE

3溶液

1.算法与复杂度

答案: D · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边

为什么是这个答案

Prim 算法用优先队列保存跨越边，使用二叉堆时运行时间为 O(E log V)。

答案

D · 从一个起始顶点开始扩展一棵树，每次加入离开该树的最便宜的边
2.算法与复杂度

答案: C · 分数背包问题，物品可以分割

为什么是这个答案

物品可以分割时，先取比值最高的物品是最优的；在 0/1 背包中，一个比值高的物品可能挡住更好的组合，因此需要动态规划。

答案

C · 分数背包问题，物品可以分割
3.数据结构

答案: B · 固定大小的队列

为什么是这个答案

环形缓冲区使用可回绕的头索引和尾索引，在固定内存中实现 O(1) 的 enqueue 和 dequeue。

答案

B · 固定大小的队列
4.数据结构

答案: B · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋

为什么是这个答案

第一次旋转把左右情况转换为左左情况，然后在失衡节点处右旋即可修正。

答案

B · 先在左子节点处左旋，再在该节点处右旋
5.图论

答案: H = 2520

欧拉、哈密顿与树：连通图在每个顶点度数都为偶数时有欧拉回路（每条边经过一次，回到起点），在恰有两个顶点度数为奇数时有不是回路的欧拉通路；此时通路从一个奇度顶点走到另一个奇度顶点。哈密顿回路恰好经过每个顶点一次；Kn 有 (n − 1)!/2 条。n 个顶点的树有 n − 1 条边，有 m 条边的连通图在去掉 m − n + 1 条边后保留一棵生成树。

计数

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

答案

H = 2520
6.图论

答案: 边 CE

最短路径与生成树：迪杰斯特拉算法每一轮确定一个顶点：暂定距离最小的未确定顶点。它的距离随即成为最终值，并且每个邻点 v 得到 d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))。克鲁斯卡尔算法按从轻到重的顺序取边并跳过会形成圈的边，从而构造最小生成树；普里姆算法从一个起点出发扩展一棵树，每次加入离开这棵树的最轻的边。n 个顶点的生成树有 n − 1 条边。

克鲁斯卡尔算法

1. BD (3)
2. BE (5)
3. DF (8)
4. CE (14)
5. AC (18)

边的序号 4

CE

答案

边 CE

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